Minima und Maxima bei sin und cos?
Hallo,
ich habe auf meinem Blatt zu stehen, dass der Minima von Sinus Funktionen
alpha=270Grad+k360Grad
und der Maxima
alpha=90Grad+k360Grad
ist. Von Cosinus sollen wir es selbst herausfinden. Ich weiß, dass k eine ganze Zahl ist. Eigentlich ist doch der Minima der tiefste und der Maxima der höchste Punkt. Aber der muss doch wegen des Einheitkreises immer 1 und keine komplizierte Formel sein?
Vielen Dank schonmal im Vorraus
5 Antworten
Das Minmum ist tatsächlich -1 und das Maximum +1.
Gesucht sind aber nach der Aufgabenstellung nicht die Werte der Minima, sondern die Stellen (hier: Werte für alpha), an denen sie angenommen werden.
Die Bezeichnung "cosinus" ist eine Abkürzung für "complementi sinus", d. h. Sinus des Komplementärwinkels. Der Komplementärwinkel eines Winkels alpha ist derjenige Winkel, der alpha zu einem rechten Winkel (90°) ergänzt (von komplementieren, komplett machen).
Also ist
cos(alpha) = sin(90°-alpha)
Damit solltest du dir die Formel herleiten können.
Der Funtkionswert ist auch immer 1 bzw -1 bei max/minumum.
Diese Formeln stehen für den Winkel des Dreiecks im Einheitskreis, an denen dieses erreicht wird. Das 360k steht nur für eine k fache drehung( wenn du dich um 360 Grad drehst kommst du wieder am gleichen Winkel raus)
Für den Cosinus kannst du dir überlegen, was er am Einheitskreis representiert und wann er maximal/minimal wird)
siehe Mathe-Formelbuch,was du privat in jedem Buchladen bekommst.
Kapitel,trigonometrische Funktionen
y=f(x)=sin(x)
Wertebereich (-1,+1)
Nullstellen x=k*pi mit k=0,1,2,3..
Extrema x=pi/2+k*pi mit k=0,1,2,3..
Wendepunkte x=k*pi mit k=0,1,2,3..
y=f(x)=cos(x)
Wertebereich (-1,+1)
Nullstellen x=pi/2+k*pi mit k=0,1,2,3..
Extrema x=k*pi mit k=0,1,2,3..
Wendepunkte x=pi/2+k*pi mit k=0,1,2,3..
Hinweis: Die Sinuskuve hat den selben Verlauf,wie die Cosinuskurve,ist aber um pi/2 gegen über y=cos(x) nach links verschoben (auf der x-Achse)
also y=f(x)=cos(x)=sin(x+pi/2)
bedeutet: Nullstelle bei x=0 für sin(0)=0 und für cos(pi/2)=0
nächste Nullstelle von cos(pi/2+1*pi)=
Hinweis: x=pi/2 ist auf der x-Achse die Strecke von x=0 bis x=p/2
x=1*pi ist die Strecke der 1.ten negativen Halbwelle,also von 1.te Nullstellen bis zur 2.ten Nullstellen.
Genau so ist es mit den Extrema Maximum/Minimum
bei y=f(x)=cos(x) sind diese auch gegenüber y=f(x)=sin(x) auf der x-Achse nach rechts verschoben und treten periodisch auf.
Es handelt sich um periodische Funktionen, deren Funktionswerte zwischen 1 und -1 liegen. Die Cosinusfunktion ist gegenüber der Sinusfunktion phasenverschoben. Insofern verschieben sich auch die Extremwerte. Zeichne die beiden Funktionen auf und Du erkennst die Extremwerte.
Am Einheitskreis sind die beiden Funktionen y=f(x)=sin(x) und y=f(x)=cos(x)
nur 2 Vektoren mit dem Betrag r=1
Der Winkel zwischen den beiden Vektoren beträgt 90°=pi/2
Beide Vektoren drehen sich links herum,gegen den Uhrzeigersinn,im mathematisch positiven Sinn