Mathestudium lineare algebra, komme nicht weiter...?
hallo zusammen, es handelt sich hier um ein paar aufgaben zur linearen algebra bei der ich ein wenig hilfe zur bearbeitung brauche.. es wäre toll wenn man mir auch nur in aufgaben teilen der 4 oder der 5 weuiterhilft.. die aufgaben 1-3 waren relativ gut lösbar nur bei den letzten beiden habe ich extrem schwierigkeiten, weil ich das mit dem konvergieren absolut nicht verstehe :s ( die aufgabe hab ich als bild im anhang hinzugefügt)
ich würde mich über hilfreiche antworten sehr freuen
lg miriam :)
2 Antworten
Konvergenz einer Folge a_n gegen a bedeutet ja, dass es zu jedem ε>0 einen Index N gibt, sodass |a_n-a|<ε für alle n>= N ist.
Angenommen, die erste Aussage, also (i), stimmt. Sei ε>0, dann gibt es ein N, sodass |a_n|<ε für alle n>N ist. Dann ist aber auch | |a_n| | = |a_n|<ε, das heißt die Folge |a_n| konvergiert ebenfalls gegen 0, also gilt auch (ii).
Jetzt kannst du (ii) => (iii) zeigen usw.
Nicht |a_n| < epsilon konvergiert gegen 0 (die Aussage hat keinem Sinn) sondern die Folge |a_n|. Und du sollst zeigen, dass dann auch (a_n)^2 gegen 0 konvertiert. (Also (ii) => (iii)) Das heißt dass es zu jedem epsilon> 0 ein N gibt, sodass...
Wobei du verwenden kannst, dass du zu jedem epsilon ein N findest, sodass |a_n|<epsilon für alle n>N ist. (Das ist ja (ii))
Tipp: (a_n)^2 = |a_n|×|a_n|
Ich bin zwar noch Schüler, weshalb ich nicht weiß ob das jetzt für Universitätsmathematik-Niveau tiefgehend genug ist aber ich versuch es einfach mal:)
Für Aufgabe 4 (2) wäre eine Folge sinnvoll deren Folgenwerte gegen -a konvergieren, da Beträge ja immer positive Zahlen sind. Ein Beispiel wäre -(1/a)-a.
Bei der Aufgabe 5 lässt sich der Grenzwert finden wenn man die Folgen für n gegen unendlich untersucht.
Folge 5a (oder Alpha?) hat für n gegen unendlich z.B. den Folgenwert 1/unendlich + 1 = 0 + 1 = 1 also g = 1.
Für die Monotonie kann man den Quotienten a_n+1/a_n bilden und daran dann die "Richtung" der Monotonie nachweisen.
Aber wie schon gesagt ob meine Antworten jetzt auf Universitätsniveau Niveau sind weiß ich nicht.
LG Stacho
Entschuldige, ein kleiner Denkfehler von mir!
Ein Beispiel für Aufgabe 4 (2) wäre a_n = -(1/n)*a
Und was den Konvergenzbeweis bei Aufgabe 5 angeht: Hier würde ich zuerst die Monotonie zeigen, bspw. durch Quotientenbildung. Danach würde ich das Verhalten für a_n für n gegen unendlich untersuchen und damit den kleinsten/größten Grenzwert bestimmen. Und soweit ich weiß muss eine Folge um konvergent zu sein doch bloß diese beiden Anforderungen erfüllen, einen Grenzwert haben und Monoton sein. (Bzw |a_n-g| = |g-a_n| muss monoton fallend sein.)
-(1/n) - a meinst du wahrscheinlich. :) sogar noch einfacher, aber etwas langweilig wäre a_n = -a.
die frage ist wie mache ich weiter.. ? kann ich dann einfach sagen, da |a_n|< ε gegen 0 konvergiert kann a_ n² nicht gegen 0 konvergieren... ??? ich weiß echt nicht wie ich das machen soll :-s kannst du mir vielleicht auch mehr dazu erklaren?