Mathematikaufgabe (mit Bild)?
Hallo,
ich habe eine Frage zu einer Aufgabe aus der 8. Klasse im Fach Mathematik, bei der ich nicht weiter komme. Sie lautet: Bestimme den Anteil des Fächeninhaltes des Rechtecks am Flächenanteil des regelmäßigen Achtecks!
Vielleicht ist ja einer von euch Lehrer oder jemand von euch kann mir dennoch helfen.
Danke im Vorraus!
2 Antworten
Verbinde die äußeren gegenüberliegenden Punkte (linke Seite, rechte Seite) miteinander. Es entstehen 4 Dreiecke, deren Katheten gleichlang sind und mittels Pythagoras abhängig von der Seitenlänge a des (regelmäßigen) Achtecks berechnet werden können. Mit den Kathetenlängen können die Flächen der rechtwinkligen Dreiecke und auch die Flächen der Rechtecke berechnet werden. Vergleiche die gewünschten Flächen und lass Dich vom Ergebnis überraschen.
Hallo,
Du kannst natürlich mit Winkeln und dem Sinus oder Tangens arbeiten, wenn Du zuviel Zeit hast, oder Du kannst vorher ein wenig nachdenken.
Setz die Seitenlängen des Achtecks gleich 1 - da es nur um den Anteil der mittleren Fläche geht, spielt die wirkliche Länge keine Rolle.
Dann hast Du in der Mitte ein Rechteck, dessen schmale Kante gleich 1 ist; während links und rechts zwei Trapeze sind mit der kürzeren Seite 1.
Die Trapeze bestehen aus einem Rechteck und zwei gleichseitigen rechtwinkligen Dreiecken, deren Hypotenuse gleich einer Seitenlänge des Achtecks ist, also 1.
Dann haben die beiden gleich langen Katheten nach dem Satz des Pythagoras jeweils die Länge 1/Wurzel (2). Es gibt vier dieser Dreiecke, die sich zu zwei Quadraten zusammenfügen lassen, die eine Seitenlänge von jeweils 1/Wurzel (2) haben, somit zusammen die Fläche 2*(1/Wurzel(2))²=2*1/2=1.
Die beiden Rechtecke, die Teil der Trapeze sind, haben den Flächeninhalt von jeweils 1*1/Wurzel (2); zusammen also 2/Wurzel (2).
Somit summieren sich die Flächen der beiden Trapeze zur Fläche von vier kleinen Dreiecken und zwei Rechtecken, was 1+2/Wurzel (2) ergibt.
Das Rechteck in der Mitte hat die schmale Seite 1 und die lange Seite 1+2*1/Wurzel (2). Das ergibt eine Fläche von 1*(1+2/Wurzel (2))=1+2/Wurzel (2).
Das ist exakt die Fläche der beiden Trapeze. Das Rechteck in der Mitte nimmt also die halbe Fläche des Achtecks ein.
Wahlweise kannst Du durch entsprechendes Zerschneiden die beiden ursprünglichen Trapeze zu dem Rechteck in der Mitte zusammenlegen.
Herzliche Grüße,
Willy