Mathematik-wann setzt man die verschiedenen zeichen bei einer lösungsmenge?
Hallo ihr Lieben,
bei der Lösungsmenge einer Gleichung sieht man diese immer wieder unterschiedlich dargestellt.
Mit runden Klammern {...} oder mit eckigen Klammern [...]. Dann gibt es welche, die zu diesen Klammern noch innen die runden Klammern (...) haben und außenrum die anderen. Anscheinend gibt es auch einen unterschied zwischen einem Semikolon ; und einem senkrechten Strich | zwischen zwei zahlen.
Wann verwendet man was und wofür steht es? Fallen euch noch andere Unterschiede ein, die man beim Aufschreiben einer Lösungsmenge beachten muss? Dann würde ich euch bitten, mir die samt Funktion noch mitzuteilen.
Vielen dank und LG hello05
3 Antworten
Die üblichen Mengenklammern, die überall in der Mathematik gelten, solange man nichts anderes vereinbart, sind die geschweiften Klammern {}.
Die verwendet man z. B., wenn man die Elemente einer Menge vollständig auflistet:
Die Menge von Peters Söhnen ist {Jan, Moritz, Heiko}
x² - 4 = 0 hat die Lösungsmenge ("in x") {-2; 2}
Man kann die Aufzählung auch mit drei Punkten abkürzen:
Die natürlichen Zahlen von 1 bis 10 sind {1; 2; ...; 10}
Oder auch eine unendliche Menge symbolisieren, wenn die Bildungsvorschrift klar ist:
{1, 3, 5, ...} ist die Menge der ungeraden natürlichen Zahlen
{..., -4, -2, 0, 2, 4, ...} ist die Menge der geraden ganzen Zahlen
Eine weitere wichtige Verwendung der geschweiften Klammern ist die Bildungsvorschrift:
{x ∈ ℚ | x²<2} ist die Menge aller rationalen Zahlen, deren Quadrat kleiner als 2 ist
-----
Wenn man mit Intervallen arbeitet, verwendet man auch die runden und die eckigen Klammern zur Bezeichnung von Mengen - aber nur in dem Sinne, dass Intervalle auch Mengen sind. Dass die Klammern Intervallgrenzen bezeichnen, wird aus dem Kontext klar oder wird ausdrücklich dazugesagt.
Dabei nimmt man die eckigen Klammern für "abgeschlossene" Intervalle, d. h. die Randpunkte gehören dazu:
[1; 2] = {x ∈ ℝ | 1 ≤ x ≤ 2}
Für "offene" Intervalle (die Randpunkte gehören nicht dazu) nimmt man meistens runde Klammern, manchmal auch nach außen geöffnete eckige Klammern:
(1; 2) = ]1; 2[ = {x ∈ ℝ | 1 < x < 2}
"halboffene" = "halbgeschlossene" Intervalle bezeichnet man durch gemischte Klammern:
[1; 2) = [1; 2[ = {x ∈ ℝ | 1 ≤ x < 2}
(1; 2] = ]1; 2] = {x ∈ ℝ | 1 < x ≤ 2}
-----
Die Verwendung von Komma ",", Semikolon ";" und senkrechtem Strich "|" ist nicht ganz einheitlich.
Zur Trennung von einzelnen Elementen nimmt man meistens das Komma - wohl weil es am einfachsten einzutippen ist. Im Deutschen und anderen Sprachen, die das Komma als Dezimaltrenner verwenden, nimmt man auch oft das Semikolon, weil es nicht mit dem Dezimaltrenner verwechselt werden kann. Das gilt sowohl für Mengen als auch für Listen ("geordnete Mengen", wo es auf die Reihenfolge ankommt). Ein häufiges Beispiel für Listen / geordnete Mengen sind Koordinatenangaben (Punkte, Vektoren). Listen werden im Gegensatz zu Mengen üblicherweise mit runden Klammern begrenzt:
(0, 0, 0) ist der Nullpunkt im dreidimensionalen Raum. Wenn ich den Nullpunkt in eine Zimmerecke lege, sind die Koordinaten der räumlich-diagonal gegenüberliegenden Ecke (4,3; 3,8; 2,6) (in Metern).
Besonders für Punkt- und Vektor-Koordinaten verwendet man als Trenner öfters auch den senkrechten Strich: (4,3 | 3,8 | 2,6) - hier ist der Unterschied zum Komma noch deutlicher.
In Verbindung mit geschweiften Klammern kenne ich den senkrechten Strich aber nur als Abtrennung der Filtervorschrift (siehe oben).
In geschweifte Klammern {...} schreibt man einzelne Lösungswerte; Lösungspaare. Hast Du z. B. als Lösungswerte für x die Werte -1 und 3 raus, dann ist L={-1;3}. Das Komma würde ich prinzipiell als Trennungszeichen nicht verwenden, da bei Dezimalzahlen die Eindeutigkeit verloren geht.
Die eckigen Klammern [...] geben ein Intervall an. Klammer nach innen bedeutet der Randwert gehört zur Lösungsmenge; Klammer nach außen bedeutet der Randwert gehört nicht zur Lösungsmenge. Die runden Klammern (...) haben die gleiche Bedeutung wie die eckigen Klammern nach außen.
Beispiele:
3<=x<=6 : L=[3;6]
3<x<=6: L=]3;6] oder L=(3;6]
3<x<6: L=]3;6[ oder L=(3;6)
Ein senkrechter Strich | zwischen Werten gibt diese Werte als Zahlenpaar oder -tripel oder ... an. Z. B. im Koordinatensystem als Zahlenpaar P(x|y). Sind z. B. die Punkte (3|6) und (9|12) die Lösung einer Aufgabe (z. B. Herausfinden der Extremwerte einer Funktion), dann ist die Lösungsmenge L={(3|6); (9|12)}. Die geschweifte Klammer gibt an, dass kein Intervall sondern einzelne Lösungen folgen.
Zudem kann man Lösungen noch angeben, indem man mit diesem Strich \ einen Teil von Werten aus der Lösung ausschließt. Beispiel: alle reellen Zahlen außer 3 und 6 sind Teil der Lösungsmenge: L=IR\{3;6}. Genausogut kannst Du natürlich auch Intervalle ausschließen.
Also wenn ich deine Frage richtig verstanden habe, dann meinst du einmal diese Schreibweise: z.B (4 | 2)
Diese beschreibt meist Koordinaten in einem Koordinatensystem. Als Lösungsmenge habe ich das in dieser Weise noch nicht gesehen.
Die Lösungsmenge, wenn beispielsweise x=1 und x=2 möglich ist, um eine Gleichung zu lösen, wird mit geschweiften Klammern geschrieben: |L = {1;2}
Ich hoffe ich konnte dir ein wenig helfen.