Mathematik 11.Klasse Definitions-+Wertebereich?

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3 Antworten

Hallo,

der Definitionsbereich einer Funktion gibt Auskunft darüber, welche Werte für x eingesetzt werden dürfen.

Bei f(x)=x² ist die Sache einfach: Du kannst R als Definitionsbereich, also die Menge der reellen Zahlen, voll ausnutzen. Es gibt keine Zahl auf dem unendlich weiten Zahlenstrahl, die für x nicht infrage käme.

Beim Wertebereich sieht die Sache hier anders aus: Du kannst zwar jede reelle Zahl für x einsetzen, es kommt aber nicht jede reelle Zahl als Funktionswert heraus. f(x)=x²=-1 ist zum Beispiel nicht möglich, weil beim Quadrieren im Zahlenraum R niemals eine negative Zahl herauskommt.

Die Definitionsmenge wäre also R, während die Wertemenge R größer oder gleich Null wäre.

Bei f(x)= Wurzel x kannst Du keine negativen Zahlen einsetzen, sondern nur 0 oder Zahlen größer als Null. Hier ist also der Definitionsbereich eingeschränkt. Der Wertebereich liegt auch innerhalb der Menge R>=0, weil das Wurzelzeichen so definiert ist, daß immer die positive Wurzel gemeint ist. 

Auch gebrochen rationale Funktionen kennen solche Einschränkungen. Bekanntlich ist eine Division durch Null in der Mathematik verboten.

Bei f(x)=1/x darfst Du für x also alles einsetzen bis auf die Null. Hier wäre der Definitionsbereich R ohne Null.

Auch der Wertebereich wäre R ohne Null, weil Du jede Zahl außer der Null durch einen Bruch 1/x ausdrücken kannst.

Du mußt also bei einer Funktion immer zwei Dinge überlegen: 

Kann ich jede Zahl für x einsetzen oder gibt es Zahlen, die zu einer negativen Wurzel, einer Division durch Null oder anderen verbotenen Sachen führen würden?

Kann jede denkbare Zahl als Ergebnis herauskommen, wenn ich entsprechende Werte für x einsetze oder gibt es Werte, die für kein x herauskommen können? Bei f(x)=sin(x) kannst Du zwar alles für x einsetzen, Du wirst aber niemals Werte bekommen, die kleiner sind als -1 oder größer als 1, weil der Sinus nur Werte zwischen diesen beiden Zahlen annehmen kann.

Als Definitionsbereich geht aber alles, denn egal, wo Du Dich auf der x-Achse befindest, Du hast einen Teil der Sinuskurve immer senkrecht über Dir oder unter Dir oder Du stehst darauf. Befindest Du Dich dagegen auf der y-Achse, und blickst parallel zur x-Achse, wirst Dein Blick die Sinuskurve nur streifen, wenn Du Dich zwischen der -1 und der 1 auf der y-Achse befindest. Ansonsten siehst Du oberhalb oder unterhalb an der Kurve vorbei.

Herzliche Grüße,

Willy

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Ganz kurz:

Die Definitionsmenge enthält alle x-Werte, für die ein Funktionswert existiert.

Die Wertemenge enthält alle besagten Funktionswerte.

Im (maximalen) Definitionsbereich sind also alle Zahlen enthalten, die für x eingesetzt werden dürfen, ohne dass es zu einer mathematischen Undefiniertheit kommt.

Es folgen einige Beispiele (G sei hierbei ℝ):

f(x) = 1/x; D = ℝ\\{0}

f(x) = √x; D = [0; ∞)

f(x) = log(x); D = (0; ∞)

f(x) = tan(x); D = ℝ\\{x∈ℝ | x = nπ/2 ∧ n∈ℤ}

Wenn du einen Wert, der nicht in D enthalten ist, in den Funktionsterm einsetzt, so erhältst du eine Undefiniertheit:

1/0, √-2, log(-5), tan(3π/2)

Die Funktion ist dafür einfach nicht definiert.

Die Wertemenge enthält alle Funktionswerte der Funktion, gibt also an, was für f(x) rauskommen kann.

Es folgen wieder einige Beispiele:

f(x) = sin(x); W = [-1; 1]

f(x) = 1/x; W = ℝ

f(x) = √x; W = [0; ∞)

f(x) = x² + 5; W = [5; ∞)

Ein kleiner Tipp:

Der Definitionsbereich einer Umkehrfunktion entspricht immer dem Wertebereich der Ausgangsfunktion.

So ist beispielsweise der Definitionsbereich der Funktion sin⁻¹(x) gleich dem Wertebereich der Funktion sin(x), also [-1; 1].

Der Definitionsbereich einer Funktion kann aber auch absichtlich kleiner angegeben werden. Damit sagt man, dass die Funktion nur auf einem bestimmten Abschnitt definiert ist, da man die anderen Stellen gar nicht betrachten möchte. ^^

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach. 

LG Willibergi

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Hallo!
Beide Angaben sind stark von der Aufgabe abhängig. Beispiel: Wenn die x-Stelle einen geworfenen Ball simuliert, machen negative Zahlen meist keinen Sinn. Bei den y-Werten genau so.
Die Koordinaten hängen also davon ab, was sinnvoll ist. Häufig lässt sich der Definitionsbereich durch Nullstellen berechnen. Beim Wertebereich spielen Hoch- und Tiefpunkte oft eine Rolle. Es hängt aber, wie bereits gesagt, immer von der Aufgabe ab und muss jedesmal neu interpretiert werden. Eine allgemeine Formel gibt es nicht.

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