Matheformel?

Wir haben ein Blatt und schneiden 4 Löcher hinein. Anschließend falten wir das Blatt einmal und schneiden wieder 4 Löcher hinein. Das ganze 20 Mal.

Frage: Wie viele Löcher sind am Ende im Blatt, wenn wir es wieder auffalten.

Und meine Frage jetzt dazu: Kann man dazu eine Formel aufstellen? Wenn ja, wie geht das?

Bitte nicht einfach nur die Formel sagen, ich möchte verstehen, wie das Funktioniert. Also bitte auch euren Lösungsweg mit dazu schreiben.

Vielen Dank,

Anja (13)

Answer 1

[marc12341]

Ich gehe mal davon aus, dass das Blatt immer in der Mitte gefaltet wird:

1. 4 Löcher im Blatt - Insgesamt(x) = 4
2. 4 Löcher + weitere 4 und diese mal 2 da das Blatt gefaltet ist und somit 2 Schichten entstanden sind - (x) = 4 + 2*4
3. Nun geht es so weiter aber nun gibt es nach einem weiteren Faltvorgang 4 Schichten vom Papier also (x) = 4 + 2*4 + 4*4

Am Ende kommt sowas dabei raus:

(x) = 4 + 2*4 + 4*4 + 8*4 + 16*4 + …

Die Anzahl an lagen Papier lässt sich durch 2^x berechnen.
Somit ist kein mal Falten 2^0 = 1 einmal 2^1 = 2 dreimal 2^2 = 4 und beim zwanzigsten Mal 2^19 = 524.288

Um das alles einfacher zu gestalten würd ich es so formulieren:

19

∑ 4*2^k = -4+2^22 = 4.194.300

k=0

Ich hoffe mir ist hier kein Fehler unterlaufen, da ich etwas eingerostet bin.

Jedoch habe ich auch das Gefühl, dass wenn du nur 13 bist ich die Aufgabe etwas falsch verstanden habe. Ist doch wohl etwas komplizierter als das was ich mit 13 gemacht habe.

Comments

[LORDderANALYSE]

Sieht auch für mich richtig aus. Das sollte der einfachste Weg gewesen sein.
So eigerostet bist du wohl nicht. ;)

Ich finde die Aufgabe Angemessen für 13.
Die Aufgabe kann man schließlich mit Addition und Multiplikation von natürlichen Zahlen lösen, was man mit 13 beherrschen sollte.
Ach wenn man sie mit Wissen über Potenzen und den Summensymbol leichter schreiben kann.

[marc12341]

@LORDderANALYSE

Naja, ich hatte selbst in der Oberstufe keine Summenzeichen und auch wenn Matheaufgaben oft absurd gestellt sind, so erscheint mir diese besonders absurd.
Aber wenn’s passt ist ja gut!

[Piisttoll]

Dankeschön. Klar, die Aufgabe zu lösen ist nicht das Problem. Ich wollte nur wissen, ob man eine Formel aufstellen könnte mit der man es rein theoretisch auch für n mal falten berechnen könnte.

[Wechselfreund]

@Piisttoll

Ist wohl auch eine sehr theoretische Aufgabenstellung: Das so oft gefaltete Blatt hätte eine Dicke von über 60 m.

[Piisttoll]

@Wechselfreund

Oh, na ja. Also das zu falten dürfte wohl unmöglich sein. Zumal man ja eh nicht wirklich öfter als 8 mal falten kann. ( Vorausgesetzt man faltet in der Mitte.)

[DerJens292]

"Die Anzahl an lagen Papier lässt sich durch 2^x berechnen.

Somit ist kein mal Falten 2^0 = 1 einmal 2^1 = 2 dreimal 2^2 = 4 und beim zwanzigsten Mal 2^19 = 524.288"

500 Blatt Papier haben 5 cm Dicke

Die Rechnung hat 1000 mal so viel. Somit ist der Stapel 50 m hoch. Das äußere Blatt Papier hat nicht nur seine Grundfläche, sondern muss auch die Höhe mit überbrücken. Jedes Blatt ist somit über 25 m lang. Wenn du die 524000 Seiten auseinanderfaltest, ist das Blatt mindestens 13.100 km lang.

Oder habe ich da total falsche Vorstellungen?

(unter der Voraussetzung, daß man immer in die gleiche Richtung faltet, und nicht mal nach links und dann nach hinten...)

Answer 2

[LORDderANALYSE]

Für die Antwort die du wahrscheinlich sucht, kannst du dir Antwort von @marc12341.

Du kannst die Lösung aber noch vereinfachen und verallgemeinern.
Machst du m Löcher, faltest machst wider m mal, ... (du faltest n+1 mal), so hast du die Formel (wenn du annimmst das du nie ein Loch in ein Anderes Loch machst):

$x = \sum\limits_{k = 0}^{n}\left[ 2^{k} \cdot m \right] = \sum\limits_{k = 0}^{n}\left[ 2^{k} \right] \cdot m$

$x = \sum\limits_{k = 0}^{n}\left[ 2^{k} \right] \cdot m = \left( 2^{0} + 2^{1} + 2^{2} + 2^{3} + \cdots \right) \cdot m$

Multiplizieren wir x mit -2 und addieren danach x dazu, so erhalten wir:

$\left( 1 - 2 \right) \cdot x = \left( 1 - 2^{n + 1} \right) \cdot m$

$x =\frac{1 - 2^{n + 1}}{1 - 2} \cdot m$

$x = -\left( 1 - 2^{n + 1} \right) \cdot m$

$x = \left( 2^{n + 1} - 1 \right) \cdot m$

Das bedeutet für dein Beispiel:

$x = \left( 2^{20} - 1 \right) \cdot 4$

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematikstudium

Comments

[Piisttoll]

Wow, vielen Dank. Eine Frage hätt ich noch, des hab ich noch: Im Exponenten steht n+1. setzt man für n 20 ein müssten das dann nicht 21 sein? Wie kommt das, dass es immer noch 20 sind?

[LORDderANALYSE]

@Piisttoll

Wow, vielen Dank.

Gerne.

Im Exponenten steht n+1. setzt man für n 20 ein müssten das dann nicht 21 sein?

Korrekt.

Wie kommt das, dass es immer noch 20 sind?

Da ist die +1 in "[...] m Löcher, faltest machst wider m mal, ... (du faltest n+1 mal) [...]" aka ein Tippfehler von mir. Jetzt stimmt es. ;)

[Piisttoll]

@LORDderANALYSE

Achso. Wow. Also noch einmal vielen Dank, das ist sogar ziemlich leicht zu verstehen.