Matheaufgabe maximales Volumen
Hallo
Ich hab da mal ne Frage
ICh lerne gerade für eine Mathearbeit und bin da auf eine Aufgabe gestoßen, wo ich absolut keine ahnung habe, wie ich die Aufgabe zu lösen habe.
Wäre nett wenn mir da jemand den Weg in einzelnen Schritten erklären könnte.
Die Aufgabe lautet:
Gegeben ist eine Kugel mit dem Radius R=5cm. In diese Kuel soll ein Zylinder so eingeschrieben werden, dass sein Volumen maximal wird. Bestimmen sie den radius r und die Höhe h des Zylinders. fertigen sie dazu eine Skizze an.
Hinweis: nebenbedingungen mit Hilfe des Satzes von Pythagoras!
Prüfen sie, ob sich die werte für r und h verändern, wenn der zylinder eine extremale oberfläche haben soll. Liegt hjier ein maximum oder ein minimum vor?
3 Antworten
Kugel mit Radius r(Kugel) = 5cm
Zylindervolumen V(Zylinder) = pi * r(Zylinder)² * h
Da der Radius im Quadrat eingeht und die Höhe nur linear, wird es am meisten Sinn machen, den Zylinder möglichst breit zu wählen und dafür weniger hoch, also gilt:
d(Kugel)² = d(Zylinder)² + h²
(2r(Kugel))² = (2r(Zylinder))²+h²
4r(K)² = 4r(Z)²+h²
Also r(Z) ² = [4r(K)²-h²]/4
Das setzen wir oben in unser Volumen ein:
V(Z) = pi * [4r(K)²-h²]/4 + h² = pi * (r(K)²- h²/4) +h² = pi * (5cm)² - (pi/4 +1)h²
V(Z) = 78,54 cm² - 1,79 h² soll maximal werden, also ableiten und 0 setzen:
-3,58h=0
h=0
r(Z) = Wurzel[(4r(K)²-h²)/4] = Wurzel[25cm²] = 5 cm
Macht ja auch Sinn, die Höhe muss also möglichst klein sein und der Radius möglichst groß, das größte, was geht ist der Radius der Kugel.
Extremale Oberfläche:
O(Z) = U * h + 2 G = 2 * pi * r(Z) * h + 2 * pi * r(Z)²
Da setzt du wieder die Nebenbedinung ein, setzt die 1. Ableitung =0, guckst wie die sich ändern und um zu gucken, ob Minimum oder Maximum guckst du die 2. Ableitung an, wenn die kleiner 0 ist, ist es ein Maximum und wenn größer null ein Minimum.
Bei Extremalwertaufgaben gibt es immer ein Grundrezept...
1. Funktion aufstellen, deren Wert maximiert/minimiert werden soll... da sind immer furchtbar viele Variablen drinnen...
2. Randbedingungen finden, die eine Abhängigkeit der Variablen voneinander zeigen, z. B. dadurch, das alles in einer Kugel stattfinden muss... somit kannst du radius und höhe des Zylinders vereinfachen etc.
Rechnen musst du selber :o)
Volumen eines Zylinders ist
V = G * k = pi * r² * k
mit der Nebenbedingung (k/2)² + r² = 25 oder r² = 25 - (k/2)²
V = G * k = pi * (25 - (k/2)²) * k = 25·pi·k - pi·k^3/4
V' = 25·pi - 3·pi·k^2/4 = 0
Dann habe ich für k = 10/3 * Wurzel(3) = 5.773502691 heraus.