Mathe Vektoren Schnittpunkt?

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4 Antworten

Von Experte MichaelH77 bestätigt

Den Schnittpunkt kannst du direkt ablesen. Beide Geraden haben nämlich denselben Stützvektor, also ist der Schnittpunkt S (3|-3|3).

Bei der Ebenenaufgabe stellst du eine Ebenengleichung auf. Dabei ist der Schnittpunkt der Stützvektor der Ebene und die beiden Richungsvektoren der beiden Geraden jeweils die beiden Spannvektoren der Ebene. Dann mithilfe des Taschenrechners oder LGS gucken, ob halt der vorgegebene Punkt P in der Ebene liegt. Oder Du formst die Ebenengleichung in die Koordinatenform um, falls ihr das hattet und setzt für x,y,z die Werte von Punkt P ein und schaust, ob eine wahre Aussage rauskommt. Falls ja, liegt der Punkt in der Ebene, falls die Aussage falsch ist, dann liegt der Punkt nicht in der Ebene.

Die beiden Geraden haben ja den gleichen Stützpunkt (Stützvektor) a(3/-3/3)

2 Vektoren stehen senkrecht aufeinander,wenn das

Skalarprodukt a*b=ax*bx+ay*by+az*bz=0 ist

also m1*m2=3*1+0*0-1*3=0 Geraden stehen senkrecht aufeinander

Vektorielle Parametergleichung der Ebene E: x=a+r*u+s*v

x=(3/-3/3)+r*(3/0/-1)+s*(1/0/3)

m1=u(3/0/-1) Richtungsvektor von Punkt A(3/-3/3) aus

m2=v(1/0/3) Richtungsvektor von Punkt A(3/-3/3) aus

mit P(7/-3/5) göeichgesetzt

(7/-3/5)=(3/-3/3)+r*(3/0/-1)+s*(1/0/3)

x-Richtung: 1) 3*r+1*s=7-3=4

y-Richtung:2) 0*r+0*s=-3-3=-6

z-Richtung:3) -1*r+3*s=5-3=2

2) ist ein Widerspruch (Unsinn) und damit liegt der Punkt P(7/-3/5) nicht auf der Ebene.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – hab Maschinenbau an einer Fachhochschule studiert

Aber wie kommst du denn bei der Ebene auf 4,-6,2? Das additionsverfahren kann ich ja durch die fehlende zweite Spalte nicht mehr anwenden und ich weiß doch nicht was r und s jetzt sind? Werden die dadurch das die in der mittleren Spalte nicht mehr existieren automatisch gleich null???

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@carlotta265

Tut mir leid hab nochmal nachgerechnet und dein Ergebnis könnte falsch sein denn ich komme auf das richtige Ergebnis https://imgur.com/a/0NQLuVo hoffe man kann es lesen

bei einem online Rechner kommt auch das selbe raus

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@carlotta265

Eine Ebene ist durch 3 Punkte eindeutig definiert

Dreipunktgleichung der Ebene E: x=a+r*(b-a)+s*(c-a)

gegeben: 3 Punkte A,B und C

A(ax/ay/az) → Ortsvektor a(ax/ay/az)

B(bx/by/bz) → Ortsvektor b(bx/by/bz)

C(cx/cy/cz) → Ortsvektor c(cx/cy/cz)

Ebenengleichung E: x=(ax/ay/az)+r*[(bx/by/bz)-(ax/ay/az)]+s*[(cx/cy/cz)-(ax/ay/az)]

Richtungsvektor m von Punkt A nach Punkt B → b=a+m → AB=m=b-a

Richtungsvektor m vom Punkt A nach Punkt C → c=a+m → AC=m=c-a

Vektorielle Parametergleichung der Ebene E: x=a+r*u+s*v

also x=(ax/ay/az)+r*(b-a)+s*(c-a)

r und s sind die Parameter der Ebene,nur Zahlen

Das Ganze ist eine Vektoraddition x=a+r*u+s*v

Addition von 2 Vektoren c=a+b

nun führen wir 2 Parameter (Zahlen) r und s ein

ergibt c=r*a+s*b nennt man eine "Linearkombination"

die Parameter r und s (sind nur Zahlen) können frei gewählt werden und somit kann man aus den beiden Vektoren a(ax/ay/az) undb(bx/by/bz) unendlich viel Vektoren c(cx/cy/cz) produzieren

aus die Ebene angewendet

(x/y/z)=(ax/ay/az)+r*(ux/uy/uz)+s*(vx/vy/vz) mit Parameter r und s frei wählbar

ergibt unendlich viele Punkte der Ebene

Ortsvektor ist ein Vektor,der seinen Anfang im Ursprung des x-y-z-Koordinatensystems hat

Großbuchstaben verwendet man für Punkte im Koordinatensystem

Kleinbuchstaben (mit kleinen Pfeil darüber) verwendet man für Vektoren

Beispiel:zeichne ein x-y-Koordinatensystem

gegeben die Punkte A(2/3) und B(5/1)

A(2/3) → Ortsvektor a(2/3)

B(5/1) → Ortsvektor b(5/1)

Richtungsvektor m von Punkt A nach Punkt B → b=a+m → AB=m=b-a

AB=m=(5/1)-(2/3)=(3/-2)

Vektoraddition b=a+m=(2/3)+(3/-2)=(5/1) Ende bei Punkt B(5/1)

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@fjf100

Dann versteh ich nicht warum der Rechner online das falsch gemacht hat kann man das auch mit dem Taschenrechner rechnen?

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@carlotta265

Ich schreib morgen meinen Lehrer mal an ich schreib dann rein was er sagt

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@carlotta265

zu Punkt 2)

Was hast du den jetzt für die Ebenengleichung heraus ?

Liegt der Punkt P(7/-3/5) auf der Ebene ?

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@fjf100

bei 2) steht:Die Ebene enthält die beiden Geraden g: und h:

also liegen beide Geraden in der Ebene E:

E: x=(3/-3/3)+r*(3/0/-1)+s*(1/0/3)

mach nun Proberechnungen mit den Geraden g: und h:

g: x=(3/-3/3)+r*(3/0/-1) mit r=1 ergibt den Punkt P1(x1/y1/z1)

h: x=(3/-3/3)+s*(1/0/3) mit s=1 ergibt den Punkt P2(x2/y2/z2)

P1 und P2 müssen dann auf der Ebene liegen,wenn die Geraden g: und h: beide in der Ebene liegen.

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@fjf100

Sorry dass ich nicht geantwortet habe aber 7/-3/5 liegt auf der Ebene E steht selbst in den Lösungen der standardsicherung von nrw drin

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@carlotta265

Macht nix !

Eine Prüfung auf Rechenfehler-und Tippfehler und auch auf Richtigkeit,müüsen die Fragesteller selber machen,weil ich hier für meine Arbeit keinerlei Geld bekomme.

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der Schnittpunkt ist (3|-3|3). Dieser Punkt ist der Stuetzpunkt von beiden Geraden. für r=0 und s=0 erhält man diesen Schnittpunkt

die Rechtwinkligkeit wird mit dem Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren nachgewiesen, das muss null sein, was hier der Fall ist

die Ebene enthält den gemeinsamen Punkt und die beiden Richtungsvektoren der beiden Geraden.

Also rechnerisch dadurch dass r und a in der mittleren Gleichung 0 sind und nur noch die ortsvektoren vorhanden sind werden diese dann gleich 0?

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@carlotta265

man braucht da nichts rechnen, man sieht sofort, dass der Punkt auf beiden Geraden liegt

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Hier Beispiel Punkte,Ortsvektoren und Richtungsvektoren im Koordinatensystem.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – hab Maschinenbau an einer Fachhochschule studiert
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