Mathe Textaufgabe Radtour?
Eine Familie macht eine fünftägige Fahrradtour. Sie fährt jeden Tag 8 km mehr als am Vortag. Am Ende der Tour ist sie insgesamt 180 km gefahren. Wie viel Kilometer ist sie am letzten Tag gefahren?
2 Antworten
Die Aufgabe ist so nicht eindeutig lösbar.
1. Möglichkeit: 2-tägige Fahrradtour
86 km + 94 km = 180 km
Am letzten Tag ist die Familie 94 km gefahren.
2. Möglichkeit: 3-tägige Fahrradtour
52 km + 60 km + 68 km = 180 km
Am letzten Tag ist die Familie 68 km gefahren.
3. Möglichkeit: 4-tägige Fahrradtour
33 km + 41 km + 49 km + 57 km = 180 km
Am letzten Tag ist die Familie 57 km gefahren.
4. Möglichkeit: 5-tägige Fahrradtour
20 km + 28 km + 36 km + 44 km + 52 km = 180 km
Am letzten Tag ist die Familie 52 km gefahren.
5. Möglichkeit: 6-tägige Fahrradtour
10 km + 18 km + 26 km + 34 km + 42 km + 50 km = 180 km
Am letzten Tag ist die Familie 50 km gefahren.
6. Möglichkeit: 7-tägige Fahrradtour
1,7 km + 9,7 km + 17,7 km + 25,7 km + 33,7 km + 41,7 km + 49,7 km ≈ 180 km
[Die Kilometerzahlen habe ich hier auf eine Nachkommastelle gerundet.]
Am letzten Tag ist die Familie etwa 49,7 km gefahren.
Wenn man die Anzahl der am k-ten Tag zurückgelegten Kilometer mit a[k] bezeichnet, erhält man...
a[2] = a[1] + 8
a[3] = a[2] + 8 = a[1] + 2 ⋅ 8
a[4] = a[3] + 8 = a[1] + 3 ⋅ 8
...
a[n] = a[1] + (n - 1) ⋅ 8
Wenn man das dann aufsummiert, also mit s[k] jeweils die Anzahl der bis zum Ende des k-ten Tages ingesamt zurückgelegten Kilometer bezeichnet.
s[n] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4] + ... + a[n]
s[n] = a[1] + a[1] + 8 + a[1] + 2 ⋅ 8 + a[1] + 3 ⋅ 8 + ... + a[1] + (n - 1) ⋅ 8
s[n] = n ⋅ a[1] + 8 + 2 ⋅ 8 + 3 ⋅ 8 + ... + (n - 1) ⋅ 8
s[n] = n ⋅ a[1] + (1 + 2 + 3 + ... + (n - 1)) ⋅ 8
s[n] = n ⋅ a[1] + (n - 1) ⋅ (1 + n - 1)/2 ⋅ 8
s[n] = n ⋅ a[1] + (n - 1) ⋅ n/2 ⋅ 8
s[n] = n ⋅ a[1] + (n - 1) ⋅ n ⋅ 4
s[n] = (a[1] + (n - 1) ⋅ 4) ⋅ n
Nun soll s[n] = 180 sein. Ich löse dann die entsprechende Gleichung nach a[1] auf.
(a[1] + (n - 1) ⋅ 4) ⋅ n = 180
a[1] + (n - 1) ⋅ 4 = 180/n
a[1] = 180/n - (n - 1) ⋅ 4
Nun kann ich für verschiedene n die Anzahl zurückgelegter Kilometer am ersten Tag berechnen. Und dann mit Addition von 8 jeweils den nächsten Tag. Beispielsweise für n = 4...
a[1] = 180/4 - (4 - 1) ⋅ 4 = 45 - 3 ⋅ 4 = 45 - 12 = 33
a[2] = 33 + 8 = 41
a[3] = 41 + 8 = 49
a[4] = 49 + 8 = 57
Bzw. kann man nach Berechnung von a[1] dann auch die weiter oben gefundene Formel a[n] = a[1] + (n - 1) ⋅ 8 verwenden.
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Wenn man nun konkret weiß, dass es eine 5-täge Radtour ist, muss man das nicht ganz so allgemein mit zunächst unbekanntem n machen, sonder kann von Anfang an n = 4 benutzen.
a[2] = a[1] + 8
a[3] = a[2] + 8 = a[1] + 16
a[4] = a[3] + 8 = a[1] + 24
a[5] = a[4] + 8 = a[1] + 32
s[5] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4] + a[5]
s[5] = a[1] + a[1] + 8 + a[1] + 16 + a[1] + 24 + a[1] + 32
s[5] = 5 ⋅ a[1] + 80
Da s[5] = 180 sein soll...
5 ⋅ a[1] + 80 = 180
5 ⋅ a[1] = 100
a[1] = 20
a[2] = a[1] + 8 = 20 + 8 = 28
a[3] = a[2] + 8 = 28 + 8 = 36
a[4] = a[3] + 8 = 36 + 8 = 44
a[5] = a[4] + 8 = 44 + 8 = 52
Ergebnis: Am letzten Tag sind sie 52 km gefahren. (Wegen a[5] = 52.)
Das ist so nicht eindeutig lösbar.
Mögliche Strecken z.B:
10+18+26+34+42+50
20+28+36+44+52
33+41+49+57
52+60+68
86+94
Es hat sich ein Fehler eingeschlichen. Es ist eine fünftägige Fahrradtour und nicht eine mehrtägige. Wie bist du auf das Ergebnis gekommen?
Bei 5 Tagen fahren sie am ersten Tag a km
und dann a+1*8, a+2*8, a+3*8, a+4*8
in Summe also 5a km + 10*8 km = 5a km + 80 km
da diese Strecke gleich 180 km sind, sind 5 a = 100 und damit a = 20
Ok, ich habe das noch mit a+5*8 gerechnet. Dann erhält man eine Differenz von 60. Diese dividiere ich durch die 5 Tage und erhalte 12 km. Warum hast du einen Tag weniger?
Es hat sich ein Fehler eingeschlichen. Es ist eine fünftägige Fahrradtour und nicht eine mehrtägige. Wie bist du auf das Ergebnis gekommen?