Matherätsel mit Funktionen und Ableitungen?
Gesucht werden zwei Funktionen f und g, sodass folgendes gilt:
f(x) * g'(x) = f'(x) * g(x)
Mit der Bedingung, dass g(x) kein Vielfaches von f(x) ist, also dass es kein k€IR gibt, sodass g(x) = k * f(x) ist. Fällt jemanden etwas dazu ein? Hier zwei Beispiele welche nicht klappen würden:
Wenn f(x) und g(x) gleich wären, dann würde f(x) * g'(x) = f'(x) * g(x) natürlich gelten, aber dann wäre g(x) = 1 * f(x) also gibt es so ein k
f(x) = 2x² und g(x) = 0.5x², dann wäre zwar f(x) * g'(x) = f'(x) * g(x) wahr, aber g(x) = 1/4 * f(x), also finden wir wieder ein k.
Ich glaube allgemein dürfen f und g keine Polynome sein, habe ich so das Gefühl ... Hat jemand eine Idee?
5 Antworten
Angenommen, es gibt zwei Funktionen dieser Art. Keine der beiden Funktionen kann die Nullfunktion sein, sonst gäbe es ja ein k (nämlich 0).
Jetzt ist also f(x) * g'(x) = f'(x) * g(x) oder anders geschrieben
f(x) * g'(x) - f'(x) * g(x) = 0
Da klingelt doch was... das sieht aus wie der Zähler der Quotientenregel... d. h. für diese beiden Funktionen muss gelten
(f(x)/g(x))' = 0
Hm. Also ist f(x)/g(x) eine konstante Funktion. Das ist aber gerade ausgeschlossen.
(Ich hab mir jetzt nicht so viel Gedanken über den Definitionbereich des Quotienten gemacht, aber das sollte kein Hindernisgrund sein. Überall da, wo g(x) ungleich Null ist, gilt das jedenfalls.)
Umstellen liefert:
d/dx[ f(x)/g(x)] = 0 für g(x) ungleich 0
bzw
d/dx[ g(x)/f(x) ] = 0 für f(x) ungleich 0
Ausgehend davon, würde ich sagen, dass lediglich Lösungen der Form:
g(x) = const * f(x) bzw. f(x) = const. * g(x)
möglich sind. Aber die Annahmen sind ja relativ stark. Eine mögliche Lösung wären zwei stückweise definierte Funktionen
f(x) = 0 für x < 0
f(x) = x^2 für x >= 0
g(x) = x^2 für x < 0
g(x) = 0 für x >= 0
Beide sind einmal stetig diffbar, und es gilt:
f(x) * g(x) = 0
Diese sind also eine der unendlich vielen denkbaren Lösungen der obigen Gleichung.
Hmm, aber stückweise definierte Funktionen sind glaube ich nicht erwünscht :( Dann wäre es ja zu einfach
Aber ja, du hast natürlich vollkommen recht, es kann keine "normale" Funktion sein weil dann (f/g)'=0 gelten muss, also muss es eigentlich eine stückweise definierte Funktion sein. Hmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm
Was spricht gegen f(x) = 0 und g(x) = x?
Mit f(x) = (sin x)/(cos x) und g(x) = (cos x)/(sin x) passt es "fast" (Vorzeichen...)
Mit der Bedingung, dass g(x) kein Vielfaches von f(x) ist, also dass es kein k€IR gibt, sodass g(x) = k * f(x) ist.
f(x) = 0 sicher auch ausgeschlossen, obwohl es für g(x) ungleich 0 kein k gibt?!