mathe helfen schnelle?
Aufgabe 6
stel dir vor, du bekommst zurzeit 20 € Taschengeld. Deine Eltern machen dir zwei Vorschlage
zur Erhöhung des Taschengeldes.
Variante 1: Du bekommst ab heute jeden Monat eine Erhöhung um 2 €
Variante 2: Du bekommst ab heute jeden Monat eine Erhöhung. Im ersten Monat bekommst du 1 Cent, im zweiten Monat 2 Cent, im dritten Monat 4 Cent usw. dazu, d.h. die Beträge verdoppeln sich immer.
Entscheide dich begründet für eine Variante.
6 Antworten
Hallo,
Du mußt die beiden Reihen vergleichen:
Variante 1: 20+22+24+...+(20+2k) mit k=0; 1; 2...n.
Die Summenformel hierfür lautet 20*(n+1)+n*(n+1), wobei der erste Monat die Zählnummer n=0 hat.
Variante 2: 20+20,01+20,02+20,04+...+(20+0,01*(2^(k-1)) mit k=0 bis n.
Auch hier gibt es eine Summenformel, nämlich 20*(n+1)+0,01*(2^n-1). Der erste Monat bekommt auch hier n=0 zugewiesen.
Setzt Du diese beiden gleich, erhältst Du:
20*(n+1)+n*(n+1)=20*(n+1)+0,01*(2^n-1).
20*(n+1) hebt sich auf beiden Seiten auf.
Es bleibt n*(n+1)=0,01*(2^n-1).
Beide Seiten mal 100:
100n*(n+1)=2^n-1.
Diese Gleichung läßt sich nicht mit trivialen Mitteln nach n auflösen. Man kann sie aber durch Probieren lösen. Es reicht ja, zu wissen, ab welchem n die rechte Seite der Gleichung die linke überholt. Daß sie das tut, ist von vornherein klar, da exponentielles Wachstum immer gewinnen wird, sofern die Basis größer als 1 ist.
n=14: 100*14*15=21000
2^14-1=16383.
Bis jetzt wäre Variante 1 besser. Das wird sich aber schnell ändern:
n=15, also 14. Monat:
100*15*16=24000
2^15-1=32767.
Ab dem 14. Monat hat Variante 2 das Rennen gewonnen.
Herzliche Grüße,
Willy
Definitiv Variante 2.
Im 9. Monat bekommst du schon eine Erhöhung um 2,56€. Also die Differenz der ersten 9 Monate dürfte sich schon in den ersten 12 Monaten ausgleichen
Variante 2. Da habe ich mehr raus.
Ich war jetzt mal davon ausgegangen, dass man nicht bis ans Ende seiner Tage Taschengeld von den Eltern bekommt. :-)
Eine kurze Zeitlang (ich habe es nicht genau ausgerechnet) ist Variante 1 besser, später Variante 2.
Aber ja, die Frage ist nicht zu Ende formuliert.
In der 1. Variante
bekommst du jeden Monat die gleiche Summe dazu, in der zweiten
steigt die Zusatzsumme jeden Monat, das heißt, die 2. Variante
wird die erste irgendwann überholen. Wenn dir egal ist,
wann das passiert, sind wir schon ohne Mathematik fertig.
Verdoppeln heißt mit 2 multiplizieren. In der 1. Variante bekommst du
20 + 2*m € (m ist die Zahl der Monate), in der 2. Variante
20 + 0.01*2^m €. Setzen wir das gleich, haben wir
20 + 2*m = 20 + 0.01*2^m
2m = 0.01*2^m
200 m = 2^m
m ist ca. 11, das heißt, in einem Jahr lohnt sich die Variante 2.
Kommt darauf an, wie lange du noch Taschengeld bekommst.
Bis Jahresende 2023 (und darüber hinaus) ist z. B. Variante 1 besser. Irgendwann kehrt es sich um. Logisch.
Das könnte man auch graphisch darstellen.
Kommt auf den Zeitraum an...