Mathe Funktionsgleichungen begründen?
Die Aufgabenstellung ist unten auf dem Bild.
Ich weiß nicht was die Begründungen dafür sind. Kann einer eventuell helfen?
2 Antworten
Wenn die zweite Ableitung eine Gerade mit positiver Steigung ist, dann verläuft diese vor ihrer Nullstelle im Negativen und danach im Positiven. Die Nullstelle von f''(x) ist also bedeutsam. Schnell ist nachgerechnet, dass diese bei x=-1 liegt.
Da die zweite Ableitung die Steigung der ersten Ableitung darstellt, gibt es für den Verlauf der ersten Ableitung vor der besagten Stelle einen fallenden Bereich und nach dieser Stelle einen steigenden Bereich. Somit liegt dort ein Tiefpunkt der ersten Ableitung vor (Aufgabenteil a).
zu b: Ein Extrempunkt der Ableitung ist eine potentielle Wendestelle der Ausgangsfunktion. Nach Aufgabenteil a kommt dafür nur x=-1 in Frage. Die dritte Ableitung (dort) ist ungleich Null, somit ist diese Wendestelle auch existent.
Wenn die zweite Ableitung eine lineare Funktion ist, ist die erste Ableitung eine quadratische Funktion. Diese hat höchstens zwei Nullstellen, somit hat die Ausgangsfunktion höchstens zwei Extremstellen. Es kann daher auch nur diesen einen Wendepunkt geben.
Wegen f'(-1)=0 ist die Steigung bei der Wendestelle null. Also liegt ein Sattelpunkt vor.
Wozu man die Aussage f(0)=0 braucht, weiß ich nicht.
f'(x) ist eine Zuordnung eines festzulegenden Wertes x zu einem Funktionswert,.
f'(x), ist der y-Wert zu der Stelle x von der Funktion f'. Zu sagen, dass es ein Funktionsterm ist, ist umständlich, aber zulässig. ;)
Also von einem einmal editierten Beitrag erwarte ich nun wahrhaftig mehr. Es ist wünschenswert, wenn du deine Edits markierst, sodass sie für alle nachvollziehbar bleiben. ;)
a) Was bedeutet es, wenn f'(x) an der Stelle x = -1 einen Tiefpunkt hat? Schau dir einfach die zweite Ableitung an
b) Was muss gelten damit f einen Sattelpunkt hat? Tipp : Vielfachheit von Nullstellen
Zuerst habe ich gedacht, dass es wegen dem Vorzeichen liegt aber das stimmt nun wieder auch nicht. Ich habe wirkliche keinerlei ahnung.
Annahme : f'(x) hat an der Stelle x = -1 einen Tiefpunkt.
Es gilt für einen Tiefpunkt, im Falle von f'
f''(x) = 0 und und VZW von f'' von - zu +
Bedingungen prüfen :
2x + 2 = 0 <=> x = -1
f''(x) = 2x+2
f''(-2) = -2<0
f''(0) = 2 > 0 => VZW von - zu + => f'(x) hat wirklich an der Stelle x = -1 einen Tiefpunkt.
"Die Nullstelle von f''(x) ist also bedeutsam."
Du meinst hier f''. f''(x) ist ein Funktionswert, aber keine Funktion. Das ist ein Duktus den sich viele Schüler falsch aneignen. Bitte trage nicht dazu bei.
Mit der Bedingung f(0)=0 ließe sich die Funktionsgleichung von f eindeutig bestimmen. Diese Bedingung sagt, dass f keinen konstanten Term hat.