Mathe Aufgabe Zufallsexperimente 8. Klasse?
Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen ich komm da nicht weiter das ist ne Übung für die Klassenarbeit und ich bin wirklich am verzweifeln ich verstehe das nicht. Ich danke im Voraus
Aufgabe:
Eine Münze wird dreimal nacheinander geworfen. Stelle das Zufallsexperiment in einem Baumdiagramm dar. Bestimme für das angegebene Ereignis die Wahrscheinlichkeit seines Eintretens.
(1) zuerst Wappen, dann zweimal Zahl
(2)nicht dreimal Wappen
(3)der letzte Wurf ist Zahl
(4)mindestens einmal Wappen
(5)mehr Wappen als Zahl
(6) gleich oft Wappen und Zahl
(7) Pasch (d.h. drei gleiche Ergebnisse)
(8) höchstens zweimal Zahl
(9) der erste Wurf ist Wappen
(10) der zweite Wurf ist Zahl
1 Antwort
Die Münze zeigt nach dem Wurf entweder Kopf oder Zahl, das ist das Zufallsergebnis. Diese Ergebnisse kann man zu einem Ereignis zusammenfassen. Ein Ereignis kann z. B. darin bestehen, dass die Münze dreimal in Folge Kopf zeigt, d.h. das dreimal in Folge das Ergebnis "Kopf" auftritt.
Die Wahrscheinlichkeit P (von engl. probability) von einem Ereignis ist einfach der Bruch aus der Anzahl der Ergebnisse bei denen das Ereignis eintritt (|A|), geteilt durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse (|Ω|):
Anschaulich kann man es sich auch so merken: "Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis berechnet sich durch die Anzahl aller günstigen (die bei denen das Ereignis eintritt) Ergebnisse, durch die Anzahl aller Ergebnisse".
Beispiel: Es wird eine Münze geworfen. In der Ergebnismenge Ω ("Was kann eintreten?") sind also folgende Elemente enthalten:
- Kopf
- Zahl
Jetzt wollen wir ein Ereignis formulieren, z. B. dass die Münze Kopf zeigt. Wie viele Elemente sind im Ereignis A enthalten ("Was muss eintreten, damit das Ereignis eintritt?")? Nur eines:
- Kopf
Die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ereignis eintritt, d.h. das Kopf geworfen wird, beträgt also 1/2, oder in Prozent ausgedrückt 50%. Zu 50% wäre hingegen Zahl geworfen worden.
Zufallsexperimente, bei denen eine endliche Anzahl an Ergebnissen auftritt und alle Ergebnisse mit der selben Wahrscheinlichkeit auftreten, bezeichnet man als Laplace Experiment.
Mehrstufige Wahrscheinlichkeitsdiagramme lassen sich mit einem Wahrscheinlichkeitsbaum visualisieren. "Start" markiert den Beginn des Zufallsexperimentes. Nach dem ersten Wurf kann entweder "Kopf" oder "Zahl" auftreten. Beide Seiten treten mit der gleichen Wahrscheinlichkeit von 1/2 auf. Die Wahrscheinlichkeiten können auf den Pfaden notiert werden.
Nun wird die Münze erneut geworfen. Von jedem Ast-Ende gehen im Wahrscheinlichkeitsbaum zwei weitere Äste aus, denn es kann ja "Kopf" oder "Zahl" auftreten, nachdem beim ersten Mal "Kopf" geworfen wurde, oder es kann "Kopf" oder "Zahl" auftreten, nachdem zuerst "Zahl" geworfen wurde.
Das kann man beliebig weiter treiben. Bei diesem mehrstufigen Beispiel mit zwei Münzwürfen treten 4 verschiedene Ergebnisse auf. Im Baumdiagramm sind das 4 verschiede Pfade:
- Kopf, Kopf
- Kopf, Zahl
- Zahl, Kopf
- Zahl, Zahl
Jetzt fragen wir uns z. B. wie hoch die Chance ist, dass das Ereignis "Kopf, Kopf" eintritt? Wir verwenden die besagte Formel und überlegen als erstes wie viele der Ergebnisse günstig für das Ereignis "Kopf, Kopf" sind? Nur eines nämlich "Kopf, Kopf". Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? 4. Also beträgt die Wahrscheinlichkeit für das gesuchte Ereignis 1/4.
Zu der Aufgabe: Hier soll eine Münze dreimal geworfen werden. Für den Wahrscheinlichkeitsbaum muss also ein Diagramm gezeichnet werden, bei dem 3 Stufen auftreten. Also von jedem Ende der letzten Abbildung müssen nochmal 2 neue Pfade ausgehen.
Ich würde die ersten 2 Ereignisse erklären:
"Zuerst Kopf, dann zweimal Zahl"
Zuerst muss sich überlegt werden, wie viele Ergebnisse es bei diesem dreistufigen Münzwurf gibt. Dazu zeichnet man das Baumdiagramm und stellt fest, dass es insgesamt 8 Pfade gibt. Nun muss überlegt werden wie viele dieser 8 Ergebnisse für das Ereignis "Zuerst Kopf, dann zweimal Zahl" günstig sind. Dieses Ereignis kann ja nur bei "Kopf", "Zahl", "Zahl" eintreffen. Also beträgt die Wahrscheinlichkeit 1/8.
"Nicht dreimal Kopf"
Wir wissen, dass es insgesamt 8 Ergebnisse gibt. Von diesen kann aber nur bei einem Ergebnis dreimal Kopf auftreten, nämlich bei "Kopf", "Kopf", "Kopf". Alle anderen Ergebnisse, also 7, sind somit für das gesuchte Ereignis günstig. Die Wahrscheinlichkeit beträgt also 7/8.
"Der letzte Wurf ist Zahl"
Hier wäre es sehr hilfreich, dass Baumdiagramm für den dreistufigen Münzwurf vor sich zu haben. Man wird feststellen, dass die Pfad-Enden immer abwechselnd "Kopf" und "Zahl" tragen. Von den 8 Ergebnissen, tritt bei 4 Ergebnissen beim letzten Wurf "Zahl" auf. Diese 4 Ergebnisse sind für das Ereignis "Der letzte Wurf ist Zahl" günstig. Die Wahrscheinlichkeit beträgt also 4/8.
