Mathe?

Wir schreiben bald eine Klassenarbeit in Mathe, dafür hat unsere Lehrerin uns Aufgaben gegeben, sowie die Lösungen zu Aufgaben. Unteranderem kommt Symmetrie bei ganzrationalen Funktionen dran, dafür gab es diese Aufgabe: x^5 -x+1 Bestimmte on de Graph Achsen- oder Punktsymmetrisch, oder keine Symmetrie hat. Ich dachte er wäre Punktsymmetrisch, unsere Lehrerin hat jedoch gesagt, dass keine Symmetrie vorliegt. Das habe ich nicht ganz Verstanden. Warum liegt dort keine Symmetrie vor?

Answer 1

[321QWERTZ123]

Achsensymmetrie zur y-Achse liegt unter der folgenden Bedingung vor:

f(-x) = f(x)

Im Beispiel gilt aber:

f(-x) = (-x)⁵ - (-x) + 1
      = -x⁵ + x + 1
f(x)  = x⁵ - x + 1

Punktsymmetrie zum Ursprung liegt unter der folgenden Bedingung vor:

f(-x) = -f(x)

Im Beispiel gilt:

f(-x) = -x⁵ + x + 1
-f(x) = -x⁵ + x - 1

Somit liegt keine Achsen- oder Punktsymmetrie zum Ursprung vor.

Der Graph ganzrationaler Funktionen ist zudem genau dann achsensymmetrisch, wenn im Funktionsterm nur gerade Exponenten vorkommen, und genau dann punktsymmetrisch, wenn im Funktionsterm nur ungerade Exponenten vorkommen. Im Beispiel gibt es aber sowohl Potenzen mit ungeraden Exponenten (x⁵, x¹) als auch welche mit geraden Exponenten (x⁰).