Lösungen eines Systems?
Hallo,
wenn das folgende System gegeben ist:
x' = sin(y) cos (x²)
y' = (y-cos(x))² sin(x)
Wie kann ich feststellen, wie viele Lösungen den Punkt P=(3,-1) zum Zeitpunkt t =10 durchlaufen? Welche Schritte muss ich unternehmen?
Ich danke in Voraus.
1 Antwort
x' = sin(y) cos (x²)
y' = (y-cos(x))² sin(x)
Punkt (-1,3) einsetzen
=>
x'=a
y'=b
Berechne a, b
=>
x=at+c1
y=bt+c2
......
3=10a+c1
-1=10b+c2
=>
Nur eine Lösung
a, b sind nur Abkürzungen für die Terme:
a=sin(y) cos (x²)
b=(y-cos(x))² sin(x)
Nun setzt man die Koordinaten des Punktes für x und y ein und kann a und b ausrechnen, man erhält also für a und b irgendwelche Zahlen, wenn man aber nur die Anzahl der Lösungen wissen will, kann man auch einfach a und b stehen lassen, so wie ich es getan habe. Die Variablen a und b stehen also für irgendwelche Zahlen.
Jetzt integriert man:
x'=a
dx/dt = a
Integral dx = Integral a dt + c1
x = a * t + c1
Man kann nun wieder die x-Koordinate des Punktes einsetzen und für t die Zeit: t = 10
Das gleiche dann für y'
Am Ergebnis sieht man dann, dass die Integrationskonstanten c1 und c2 jeweils einen fixen Zahlenwert haben, also eindeutig bestimmen sind
Hallo,
vielen Dank für Ihre Antwort. Ich bin mir aber an einigen Stellen in Ihrer Rechnung nicht sicher, wieso es so gemacht wurde.
Also erstens, wenn man P einsetzt, rechnet man es auch aus, oder substituiert man x' und y' einfach mit einer anderen Variable?
Zweitens, ist die Gleichung nach a,b ausrechnen der Form x=Variable*t+c Standard?
Und letztens, wenn man im letzten Schritt P für die linke Seite eingesetzt hat, muss man das GLS lösen? Wieso gibt es nur eine Lösung?
Ich hoffe, dass Sie mir meine Unklarheiten lösen könnten.
Ich danke in Voraus.