Limes, nullstelle?
Wie berechnet man das Limesverhalten, die Nullstelle und zeichnet die Skizze der folgenden Gleichungen :
f(x) = -2 (x-1) x
f(x) = - (x+1) x (-1) x
f(x) = x^2 (x-1)^2
???
4 Antworten
Die Nullstellen sind dort, wo der Funktionsgraph auf die x-Achse trifft, d. h. wo y=0 ist. Das heißt, Du musst f(x)=0 ausrechnen. Da Du die Funktionsterme bereits in faktorisierter Form vorliegen hast, brauchst Du nur die x-betreffenden Faktoren Null setzen. Beispiel: Die Nullstellen bei der ersten Funktion sind dort, wo (x-1) und x gleich Null sind...
Bzgl. des Unendlichkeitsverhaltens multiplizierst Du besser die Terme aus. Dann sieht man eigentlich auf Anhieb am x mit dem höchsten Exponenten (und dem Vorzeichen dieser Potenz), wo der Graph im Negativen herkommt und wo es im plus-Unendlichen letztendlich hingeht.
Bzgl. der Skizze ermittelt man in der Regel noch markante Punkte wie den Schnittpunkt mit der y-Achse, Extrem- und Wendepunkte. Dann sollte man zusammen mit den Nullstellen und dem Unendlichkeitsverhalten eine brauchbare Skizze zeichnen können.
Limesverhalten? Du meinst wohl Grenzverhalten, denn Limesverhalten ist ein unüblicher Terminus.
Du lässt für das Grenzverhalten dieser Funktion f nun x gegen plus/minus unendlich streben/laufen:
Interpretation: Kommt aus dem Negativen und geht wieder ins Negative.
Für die Nullstellen wie immer den Ansatz:
nutzen.
Hier ist es besonders leicht aufgrund der Anwendung vom Satz d. Nullprodukts:
Fall 1
Division mit -2 führt zur Lösung
Fall 2
Addition mit 1 führt dann zur weiteren Lösung
Damit wären die Nullstellen x_1 = 0 und x_2 = 1
Für limes: setze mal + bzw - unendlich ein, was kommt dabei raus? das ist der limes, wenn du x gegen unendlich laufen lässt (sehr sehr intuitiv ausgedrückt)
Nullstelle: Setze f(x) = 0. Was kommt für x raus, wenn du nach x auflöst? Das ist die Nullstelle.
Skizze: Versuche durch ableiten herauszufinden, was Hoch- und Tiefpunkte sind, indem du die Ableitung = 0 setzt. (Da ist die Steigung 0)
uff, stimmt wohl. Ich meinte das Grenzverhalten gegen +/- unendlich
Das sind alles Produkte; nach dem Satz vom
Nullprodukt wird ein Produkt 0, wenn einer der Faktoren 0 ist.
Beispiel:
-2 (x-1) x
wird 0 für x = 0 und x = 1.
Da es alles ganzrationele Funktionen
sind, gibt es keinen Limes.
@RipPete
sofern man da Multiplikationszeichen zwischen den einzelnen Ausdrücken annimmt, dann sind das alles ganzrationale Funktionen. Und ganzrationale Funktionen haben keinen Limes, auch wenn man sie gegen +- \infty laufen lässt, denn in diesem Falle laufen die ebenfalls gegen + oder - infty und einen Limes \infty gibt es nicht.