Kurvendiskussion mit 2 Graphen-- ich bitte um eure Hilfe?
Hey meine Lieben! Ich habe diese Aufgabe erhalten und komme echt nicht weiter :-(. Aufgabe a konnte ich noch lösen, den Rest jedoch nicht. Es wäre echt lieb von euch, wenn mir jemand weiter helfen würde :-). Ich würde mich über jede Hilfe sehr freuen.
Gegeben sind die Funktionen f(x)=(x2 - 1)2 und g(x)= -(x2-1)*(x+1)
b) An den Graphen von g wird im Schnittpunkt P mit der y -Achse die Tangente gelegt. Wie lautet die Tangentengleichung?
c) Gibt es einen weiteren Punkt auf dem Graphen von g mit der gleichen Steigung wie im Punkt P?
d) An welchen Stellen hat der Graph von g die Steigung -20?
e) Gibt es Stellen, an denen die Funktionen f und g die gleiche Steigung haben? Wie viele solche Stellen gibt es?
Vielen Dank im Voraus!
Hab ich die Aufgaben richtig gelöst?
g(x) = - (x2 - 1)·(x + 1) = - x3 - x2 + x + 1
g'(x) = - 3·x2 - 2·x + 1
b) An den Graphen von g wird im Schnittpunkt P mit der y -Achse die Tangente gelegt. Wie lautet die Tangentengleichung?
t(x) = g'(0)·(x - 0) + g(0) = x + 1
c) Gibt es einen weiteren Punkt auf dem Graphen von g mit der gleichen Steigung wie im Punkt P?
g'(x) = - 3·x2 - 2·x + 1 = 1 --> x = - 2/3 (∨ x = 0)
d) An welchen Stellen hat der Graph von g die Steigung -20?
g'(x) = - 3·x2 - 2·x + 1 = -20 --> x = 7/3 ∨ x = -3
e) Gibt es Stellen, an denen die Funktionen f und g die gleiche Steigung haben? Wie viele solche Stellen gibt es?
f'(x) = g'(x)
4·x3 - 4·x = - 3·x2 - 2·x + 1 --> x = 1/8 - √17/8 ∨ x = 1/8 + √17/8 ∨ x = -1
Es gibt also 3 solche Stellen.
5 Antworten
Sobald wir es mit Steigungen, Schnittpunkten etc. zu tun bekommen ist die Normalform bequemer als die Nullstellenform, weilk die sich leicht ableiten lässt .
Also wandeln wir beide Funktionen erstmal um:
f(x) = (x^2 - 1)^2 = x^4 - 2x^2 + 1
f'(x) = 4x^3 - 4x
g(x) = -(x^2 - 1)* (x + 1) = - x^3 + x - x^2 + 1 = -x^3 - x^2 + x + 1
g'(x) = -3x^2 - 2x + 1
b)
Schnittpunkt P mit der y -Achse:
x = 0
y = g(0) = 1
P(0/1)
g' = -3x^2 - 2x + 1
g'(0) = 1
Tangentengleichung:
y = mx + b
m = 1
y = x + b
P(0/1) einsetzen:
1 = 0 + b
b = 1
y = x + 1
c)
g'(x) = 1
-3x^2 - 2x + 1 = 1
3x^2 + 2x = 0
x(3x + 2) = 0
Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist = 0, wenn einer der Faktoren = 0 ist.
x1 = 0 hatten wir mit P ja schon, also zweite Lösung:
3x2 + 2 = 0
x2 = -2/3
Ergebnis: ja, bei x = -2/3 gibt es einen weiteren Punkt mit der Sreigung 1
d)
g'(x) = -20 = -3x^2 - 2x + 1
-3x^2 - 2x + 21 = 0
x^2 + 2x - 21 = 0
pq-Formel:
Stellen mit g' = -20:
x1 = -5,69
x2 = 3,69
e)
f'(x) = g'(x)
4x^3 - 4x = -3x^2 - 2x + 1
4x^3 + 3x^2 - 2x -1 = 0
Nullstellen für Polynome 3. Grades sind nur schwer zu finden. Ich wähle für die erste Nullstelle ein graphisches Verfahren:
also:
x^= -1
Nun kann man eine Polynomdivision machen:
(4x^3 + 3x^2 - 2x -1) / (x + 1)
Von 4x^2 - x - 1 = 0
können wir die weiteren Nullstellen finden:
x^2 - 0,25x - 0,25 = 0
pq-Formel:
Ergebnis:
Es gibt 3 Stellen, an denen f(x) und g(x) die gleiche Steigung haben:
x1 = -1
x2 = -0,39
x3 = 0,64
..aber bitte alles nachrechnen
Würdest du vielleicht auch bitte hier schauen, ob ich es so richtig habe😅
https://www.gutefrage.net/frage/matheaufgabe-richtig-geloest--mondlander#answer-379132324
g(x)=-1*(X²-1)*(X+1)=-1*(X³-1*X+X²-1)=-1*x³-1*x²+1*x+1
g´(x)=-3*x²-2*x+1
Schnittstelle mit der y-Achse bei x=0
Tangentengleichung yt=ft(x)=f´(xo)*(x-xo)+f(xo)
xo=0 ist die Stelle,wo die Tangente an der Funktion g(x)=.. liegen soll
g(xo)=g(0)=-1*0³-1*0²+1*0+1=1
g(0)=1
g´(xo)=g´(0)=-3*0²-2*0+1=1
g´(0)=m=1
eingesetzt
yt=ft(x)=1*(x-0)+1=1*x-1*0+1
yt=ft(x)=1*x+1
c)
g´(x)=m=1=-3*x²-2*x+1
0=-3*x³-2*x1-1
0=-3*x³-2*x dividiert durch -3
0=x²+2/3*x hat die gemischtquadratische Form mit q=0 → 0=x²+p*x Nullstellen bei
x1=0 und x2=-p
also x2=-2/3
d)
g´(x)=m=-20=-3*x²-2*x+1
0=-3*x²-2*x+1+20
0=-3*x²-2*x+21 dividiert durch -3
0=x²+2/3*x-7
Lösung mit meinem Garphikrechner (GTR,Casio) x1=-3 und x2=2 1/3
In Handarbeit mit der p-q-Formel x1,2=-p/2+/-Wurzel((p/2)²-q)
e) beide Funktionen ableiten und dann gleichsetzen
f´(x)=g´(x)
0=g´(x)-f´(x) → Nullstellen bestimmen
Den Rest schaffst du wohl selber.
a)
y = mx + c
m = steigung = f'(schnittpunkt mit der y Achse)
x und y sind die Punkt koordinaten einfach einsetzen und c ausrechnen
b) Ableitung ausrechnen und folgende Gleichung lösen :
m (ausgerechnet in Aufgabe davor )= g'(x)
c) genau gleich wie b nur das hier gilt m = -20
d) folgende Gleichung lösen :
f '(x) = g'(x)
-> Das ist eig nur rechnen was du selber können musst schau dir villeicht mal ein paar videos an
b)stimmt
c) sollte auch passen
d)stimmt
e) stimmt auch allerdings frage ich wie du auf die Nullstellen gekommen bist. Denn hier müsstest du eine Polynomdivision durchführen was bisschen aufwendiger wäre. da du in der Aufgabe die Werte auch nicht angeben musst , hätte ich es einfach logisch geschlussfolgert das sie 3 nullstellen haben muss und sie nicht mühselig ausgerchnet.
Zu b) welcher Schnittpunkt P ist gemeint es gibt 2 Stück.
Zu c) du nimmst die Steigung an der Stelle P und setzt die erste Anleitung von g(x) mit der Steigung gleich. Dann werden dir alle Stellen angezeigt, die die gleiche Steigung haben wie an der Stelle P
Zu d) Erste Ableitung von g(x) mit - 20 gleichsetzen
Zu e) Die erste Ableitung beider Funktionen miteinander gleichsetzen und auflösen
b)du hast P (0;1)
und m= g '(0) damit kannst du die Tangentengl. aufstellen
d) g ' (x) = -20
x berechnen
e) f ' = g '
hab ich es richtig gemacht?
g(x) = - (x2 - 1)·(x + 1) = - x3 - x2 + x + 1
g'(x) = - 3·x2 - 2·x + 1
b) An den Graphen von g wird im Schnittpunkt P mit der y -Achse die Tangente gelegt. Wie lautet die Tangentengleichung?
t(x) = g'(0)·(x - 0) + g(0) = x + 1
c) Gibt es einen weiteren Punkt auf dem Graphen von g mit der gleichen Steigung wie im Punkt P?
g'(x) = - 3·x2 - 2·x + 1 = 1 --> x = - 2/3 (∨ x = 0)
d) An welchen Stellen hat der Graph von g die Steigung -20?
g'(x) = - 3·x2 - 2·x + 1 = -20 --> x = 7/3 ∨ x = -3
e) Gibt es Stellen, an denen die Funktionen f und g die gleiche Steigung haben? Wie viele solche Stellen gibt es?
f'(x) = g'(x)
4·x3 - 4·x = - 3·x2 - 2·x + 1 --> x = 1/8 - √17/8 ∨ x = 1/8 + √17/8 ∨ x = -1
Es gibt also 3 solche Stellen.
hab ich es richtig gemacht ?
g(x) = - (x2 - 1)·(x + 1) = - x3 - x2 + x + 1
g'(x) = - 3·x2 - 2·x + 1
b) An den Graphen von g wird im Schnittpunkt P mit der y -Achse die Tangente gelegt. Wie lautet die Tangentengleichung?
t(x) = g'(0)·(x - 0) + g(0) = x + 1
c) Gibt es einen weiteren Punkt auf dem Graphen von g mit der gleichen Steigung wie im Punkt P?
g'(x) = - 3·x2 - 2·x + 1 = 1 --> x = - 2/3 (∨ x = 0)
d) An welchen Stellen hat der Graph von g die Steigung -20?
g'(x) = - 3·x2 - 2·x + 1 = -20 --> x = 7/3 ∨ x = -3
e) Gibt es Stellen, an denen die Funktionen f und g die gleiche Steigung haben? Wie viele solche Stellen gibt es?
f'(x) = g'(x)
4·x3 - 4·x = - 3·x2 - 2·x + 1 --> x = 1/8 - √17/8 ∨ x = 1/8 + √17/8 ∨ x = -1
Es gibt also 3 solche Stellen.