Kurvenanpassung, Krümmung?

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2 Antworten

Normalerweise hat eine Parabel die allgemeine Form -->

y = f(x) = a * x ^ 2 + b * x + c

Die in deinem Bild dargestellte Parabel ist achsensymmetrisch zur y-Achse, dass bedeutet b = 0, weil nur Parabeln die ausschließlich gerade Potenzen haben achsensymmetrisch sind.

Deshalb vereinfacht es sich zu -->

y = f(x) = a * x ^ 2 + c

Die beiden Geraden gehen durch den Ursprung (0 | 0) und lauten -->

y _ 1 = - 0.04 * x

y _ 2 = 0.04 * x

Die Parabel soll beide Geraden berühren und einen minimalen Krümmungsradius von r = 100 m haben.

http://walter.bislins.ch/blog/index.asp?page=Kr%FCmmungskreise+und+Parabeln

Das bedeutet, es soll gelten -->

a = 1 / (2 * r)

In deinem Fall also -->

a = 1 / 200

Dann gilt für deine Parabel jetzt -->

y = f(x) = (1 / 200) * x ^ 2 + c

Jetzt musst du nur noch c bestimmen.

Da du die Steigung der Geraden bereits kennst, muss in den Berührpunkten also die Parabel ebenfalls die Steigung -0.04 bzw. +0.04 haben.

Die Steigung wird durch die 1-te Ableitung beschrieben -->

y´ = f´(x) = (1 / 100) * x

0.04 = (1 / 100) * x

x = 4

An der Stelle x = 4 ist eine Berührstelle, wegen der Achsensymmetrie also auch an der Stelle x = -4

Nun das x nur noch in eine der beiden Geradengleichungen einsetzen -->

y _ 2 = 0.04 * x

y _ 2 = 0.04 * 4 = 0.16

Die Koordinaten der Berührpunkte lauten also -->

(-4 | 0.16)

(+4 | 0.16)

Nun muss die Parabel ja auch durch diese Punkte gehen -->

y = f(x) = (1 / 200) * x ^ 2 + c

0.16 = (1 / 200) * 4 ^ 2 + c

c = 0.16 - (1 / 200) * 4 ^ 2 = 0.08

c = 0.08

Deine Parabel lautet jetzt also -->

y = f(x) = (1 / 200) * x ^ 2 + 0.08

Ich hoffe, dass ich mich nicht verrechnet habe ;-))

precursor 26.02.2017, 02:39

Es kann sein, dass die Formel die man zur Berechnung des Krümmungskreisradius verwendet doch eine andere ist -->

https://goo.gl/qspZiu

Wenn das so ist, dann ist der Parameter a in meiner Rechnung von oben falsch, der restliche Rechenweg in meiner Rechnung stimmt aber, nur der Krümmungskreisradius wäre doch ein anderer.

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precursor 26.02.2017, 02:39

Es kann sein, dass die Formel die man zur Berechnung des Krümmungskreisradius verwendet doch eine andere ist -->

https://goo.gl/qspZiu

Wenn das so ist, dann ist der Parameter a in meiner Rechnung von oben falsch, der restliche Rechenweg in meiner Rechnung stimmt aber, nur der Krümmungskreisradius wäre doch ein anderer.

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precursor 26.02.2017, 02:42
@precursor

Komischerweise wurde der Kommentar zweimal abgeschickt ;-))

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Die Parabel hat die Form

y=kx² + c

Davon ist k und c zunächst unbestimmt.

k ergibt sich aus dem Krümmungsradius.

Das c aus der Tangentenbedingung.

Hilft dir das ?

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