Konsistenz von Zeitschritt Verfahren?

Wenn ich ein Zeitschritt Verfahren habe z.B.

für die Differentialgleichung $T_t\ =\ f$ Habe ich den expliziten Euler

$T^{\left(n\ +\ 1\right)}=\ T^{\left(n\right)}\ +\ dt\ \cdot\ f$ Und ich soll diesen auf Konvergenz prüfen.

Wir machen dann immer (mir ist nicht klar warum) :

$\frac{T\left(t_{n+1}\right)-\left(T\left(t_n\right)+dt\cdot f\right)}{dt}$ Und zeigen dann indem wir mit Taylor Entwicklung arbeiten das dieser Term (Residuum ? ) in O(n) liegt ?

Das über dem Bruch leuchtet mir noch so ein bisschen ein, denn es ist praktisch die "richtige" analytische Lösung $T\left(t_{n+1}\right)$ - die Approximierte Lösung aber auf dem "richtigen" Startwert angefangen.

Ich verstehe aber nicht wie das im Nenner zu Stande kommt, wieso darf man hier durch dt teilen ?

Außerdem wenn ich jetzt gezeigt habe das die Konsistenzordnung 1 ist, ist dann auch die Konvergenzordnung 1 ?

Danke :)

Comments

[1mgont]

Ich kann die Frage leider nicht beantworten, aber warum ist $T_t\ =\ f$ eine Differentialgleichung? Wie ist Tt definiert?

[Super877]

aso, das ist eine einfachere Schreibweise für: T nach t ableiten.

Wie suchen also eine Funktion T(x,t) die nach t abgeleitet f(x,t) ist :)

Answer 1

[isohypse]

Mach mal einen Exponenzialansatz und schau, wann sich Instabilität ergibt (charakteristische Gleichung aufstellen). Das explizite Euler Verfahren ist numerisch instabil, wenn man die Schrittweite zu groß wählt.