Komplexe Zahlen Lösung gesucht?

Irgendwie komm ich leider nicht weiter.

Ich schaffe es in die Formel zu bringen mit Z⁰ und Z¹ aber leider verstehe ich weder was dieses z als Lösung uns sagt und dann schaffe ich es nicht in die kartesischen Koordinaten wieder umzuwandeln.

Kann mir bitte jemand einen detaillierten weg zu dieser Aufgabe machen?

Z⁴=3+4i

Answer 1

[Rammstein53]

Gesucht ist die vierte Wurzel aus z = 3 + 4*i

z in Polarkoordinaten umwandeln:

z = r * ( cos(phi) + i*sin(phi)) = r * e^(i*phi)

mit

phi = arctan(4/3)

r = |z| = sqrt(3*3 +4*4) = 5

Somit gilt:

z = 5 * e^(i*arctan(4/3))

vierte Wurzel ziehen:

z^(1/4) = (5 * e^(i*arctan(4/3)))^(1/4)

z^(1/4) = 5^1/4 * (cos(arctan(4/3)/4) + i *sin(arctan(4/3)/4)

z^(1/4) ~ 1.455 + i*0.346

Comments

[tunik123]

Wenn man zum Winkel (vor der Division durch 4) Vielfache von 2pi addiert, bekommt man noch drei andere Werte für die Wurzel.

5^1/4 * (cos((arctan(4/3)+2pi)/4) + i *sin((arctan(4/3)+2pi/4)

5^1/4 * (cos((arctan(4/3)+4pi)/4) + i *sin((arctan(4/3)+4pi/4)

5^1/4 * (cos((arctan(4/3)+6pi)/4) + i *sin((arctan(4/3)+6pi/4)

Ab hier wiederholt es sich dann.