Kantenlänge mit Hilfe von Raumdiagonalen? (mathe)

7 Antworten

Das ist ganz einfach die Raumdiagonale R² kannst du im satz des Pythagoras aus der Kantenlänge k² und der Diagonalen D² ausrechnen....
Diagonale D² wir aus k²+k² gebildet Also beginnst du so Ber. um R

R² = D² + D² R² = 144 144 : 2 = 72 Wurzel aus 72 = 8,5 D² = 72 D = 8,5

Ber. um k

D² = k² + k² D² = 72 72 : 2 = 36 Wurzel aus 36 = 6 k²= 36 k = 6

Sollte irgendwie sich ein fehler reingeschlichen haben, dann sagt bescheid aber das sieht ganz gut aus und sollte richtig sein ^^

Mache dir am besten anhand einer Zeichnung folgendes klar:

Betrachte die Raumdiagonale R des Würfels als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreieckes. Die Katheten dieses Dreieckes sind

1) eine beliebige der Kanten K des Würfels, die von R berührt werden (es gibt sechs solcher Kanten, drei an jedem Ende von R) und

2) die Verbindungsstrecke zwischen den noch freien Enden von R und der "ausgeguckten" Kante K. Diese Verbindungsstrecke ist eine Diagonale einer der Seitenflächen des Würfels, ich bezeichne sie im Folgenden mit D.

.

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

R^2 = D^2 + K^2

(Gleichung 1)

.

R ist bekannt, D jedoch nicht. Du weißt aber, dass D die Diagonale einer Seitenfläche des Würfels ist. Da die Seitenfläche des Würfels ein Rechteck (sogar ein Quadrat) ist, bildet D mit zwei der Kanten dieser Seitenfläche ein rechtwinkliges Dreieck.

Daher kann D wiederum mit Hilfe des Satzes des Pythagoras aus der Kantenlänge K berechnet werden:

D^2 = K^2 + K^2 = 2 * K^2

(Gleichung 2)

(Da beim Würfel alle Kanten K gleich lang ist, musst du hier nicht darauf achten, welche Kante K du nimmst.)

.

Setzt du nun die Gleichung 2 in die Gleichung 1 ein, dann erhältst du:

R^2 = 2 * K^2 + K^2 = 3 * K^2

.

Dies nach K aufgelöst ergibt:

K^2 = R^2 / 3

<=> K = 2.Wurzel(R^2 / 3)

<=> K = R / 2.Wurzel( 3 )

.

Hier kannst du nun das bekannte R = 12 cm einsetzen und erhältst als Kantenlänge K des Würfels:

K = 12 cm / 2.Wurzel( 3 ) = 6,928... cm.

Hi, also: 12 im Quadrat(144) gleich Summe beider Ankatheten. 144:2=72. Wurzel aus 72 = 8,49. Die Kantenlänge sollte rund 8,5 cm betragen. Gegenprobe: 8,49 hoch 2 = 72. 72 + 72 = 144. 12 hoch 2 = 144. Stimmt. Da Du so mathematisch befragt bist: gehst Du aufs Gymnasium? Gruß Osmond

Diese Antwort solltest du noch einmal zumindest grob überdenken.

Was du ausgerechnet hast, ist die Länge der Seiten eines Quadrates, dessen Diagonale 12 cm lang ist.

Zu berechnen war aber die Kantenlänge eines Würfels, dessen Raumdiagonale 12 cm lang ist.

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@JotEs

Hi, man sollte die Aufgabe besser lesen. Danke für Hinweis. Also: die Diagonallänge ist 3. Wurzel von a(Kantenlänge). Demnach ist die Kantenlänge a: 6,93 cm. lgO

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@osmond

Tut mir Leid, aber auch das ist nicht richtig.

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Die Länge der Raumdiagonale R in Abhängigkeit von der Kantenlänge a ist:

R = 2.Wurzel( 3 ) * a

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Wäre, wie du es geschrieben hast,

R = 3.Wurzel( a )

dann wäre die Raumdiagonale eines Würfels mit einer Kantenlänge größer als 1 kleiner als die Kantenlänge selbst. Du siehst sicher ein, dass das nicht sein kann.

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@osmond

Dein Wert stimmt - aber der Weg, auf dem du zu diesem Wert gekommen sein willst, ist falsch.

Du schreibst:

"die Diagonallänge ist 3. Wurzel von a(Kantenlänge)."

.

Wenn ich aber die 3.Wurzel deiner Kantenlänge ( 6,39 ) berechne, erhalte ich:

3.Wurzel( 6,93 ) = 1,906 ...

und das kann wohl kaum die Länge der Raumdiagonalen eines Würfels mit der Kantenlänge 6,93 sein ...

.

Also: Wo auch immer du deine korrekten 6,93 her hast - mit deiner Formel

Diagonallänge = 3.Wurzel( a ) hast du diesen Wert sicher nicht errechnet.

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raumdiagonale= kantenlänge * Wurzel 3 |:Wurzel3

Raumdiagonale : Wurzel 3 = Kantenlänge

achso 8te klasse

potenz? weißt du was das ist also 6² = 6*6 =36?

Wurzel ist das Gegenteil...6 ist die Wurzel von 36

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Ich habe mir überlegt , dass es folgendermaßen funktionieren könnte: Das Quadrat der Seitenflächendiagonale plus das Quadrat der Kantenlänge gleich dem Quadrat der Raumdiagonale. (Seitenflächendiagonale = D ; Kantenlänge = K ; Raumdiagonale = R)

R^2 = D^2 + K^2

D^2 = 2K^2 =>

R^2 = 3K^2 =>

K = Wurzel aus 1/3 R^2

Kann das stimmen?

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