Kann mir jemand in Mathe zum Thema Stochastik weiterhelfen (Abi)?
Hallo, ich sitze gerade an einer Aufgabe und habe zufällig die Lösungen dazu im Internet gefunden. Allerdings kann ich mit denen nicht wirlklich was anfangen, weil ich sie nicht verstehe. Ich würde mich sehr freuen, wenn mir diese jemand erklären könnte.
Liebe Grüße
Aufgabe:
Es regnet gleichmäßig auf einen kreisförmigen Bierfilz mit Radius 5 cm.
a) Bestimmen sie die Wahrscheinlichkeitsdichte des Abstandes X eines Regentropfens vom Mittelpunkt
b) Bestimmen sie den zur Wahrscheinlichkeitsdichte gehörenden Erwartungswert
c) und die Standardabweichung.
Lösungen:
a)
f(x) = (2·pi·x) / (pi·52) = 0.08·x
b)
∫(x·0.08·x, x, 0, 5) = 10/3 = 3.333
c)
V = ∫((x - 10/3)2·0.08·x, x, 0, 5) = 25/18 = 1.389
σ = √(25/18) = 5/6·√2 = 1.179
(https://www.mathelounge.de/523827/wahrscheinlichkeitsdichte-erwartungswert-standardabweichung)
2 Antworten
a)
Das Grundereignis ist offensichtlich, dass der Regentropfen überhaupt auf den Bierfilz trifft.
Die Dichte der Auftreffwahrscheinlichkeit auf die Fläche bezogen ist konstant. Daraus folgt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Regentropfen eine bestimmte Teilfläche trifft, proportional zum Flächeninhalt der Teilfläche ist. Normiert ist das Ganze dadurch, dass die Wahrscheinlichkeit, dass der Tropfen den Filz trifft, 1 ist.
Für einen Kreis mit Radius r um den Mittelpunkt mit der Fläche A(r) ist die Wahrscheinlichkeit, getroffen zu werden,
W(r) = k • A(r) = k • π • r^2
Für den gesamten Bierdeckel mit Radius R:
W(R) = k • π • R^2
Das ist 1, damit können wir k ausrechnen:
k = 1 / ( π • R^2)
Einsetzen in die Gleichung oben:
W(r) = (π • r^2) / (π • R^2) = r^2 / R^2
Die Wahrscheinlichkeitsdichte bezogen auf den Radius ist die Ableitung der Wahrscheinlichkeit nach dem Radius - weil ja umgekehrt die Wahrscheinlichkeit das Integral der Dichte über dem Radius ist.
f(r) = W'(r) = 2 r / R^2
Hier: R = 5 cm; x = r
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b)
<r> = Integral {0 bis R} f(r) • r • dr
= Integral 2 r^2 / R^2
= [2/3 r^3 / R^2] {r = 0 ; r = R}
= 2/3 R^3 / R^2 - 2/3 0^3 / R^2
= 2/3 R
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c)
Var(r) = <r^2> - <r>^2
<r^2> = Integral {0 bis R} f(r) • r^2 • dr
= Integral (2r / R^2 • r^2) • dr
= 2 / R^2 Integral r^3 dr
= 2/4 1/R^2 R^4 - 0
= 1/2 R^2
also
sigma = √Var = 1/2 √2 R
Jetzt fehlt nur noch, dass für R die 5 cm vom Anfang eingesetzt werden.
Woher stammt die Aufgabe. Denke, dass soetwas nicht im Abitur drankommt.
Aus meinem Mathebuch. Schreibe demnächst Vorabi und da könnte es wichtig sein