Kann mir jemand in Mathe helfen (Verteilungen)?
"Eine Münze wird 1000-mal geworfen. Ermittle ein symmetrisches Intervall um den Erwartungswert, in dem die Anzahl von "Kopf" in 75% aller Wurfserien liegt!" Wenn ich den Rechenweg wüsste, könnte ich meine gesamten Mathe-Hausaufgaben erledigen, weil man bei allen nach dem selben Schema vorgehen muss... Vielen Dank schon mal im Voraus!
2 Antworten
Hallo,
das kannst Du über die Normalverteilung berechnen.
Zunächst ermittelst Du die Standardabweichung.
Da Du es hier mit einem binomialverteilten Zufallsereignis zu tun hast, ist die Standardabweichung die Wurzel aus dem Produkt aus Erwartungswert und Gegenwahrscheinlichkeit.
Wahrscheinlichkeit für Kopf und für Nicht Kopf liegen beim Münzwurf bei je 0,5.
Bei 1000 Würfen liegt der Erwartungswert für Kopf bei 1000*0,5=500.
Die Gegenwahrscheinlichkeit Nicht Kopf liegt bei 0,5.
Die Standardabweichung liegt demnach bei der Wurzel aus (500*0,5)=
Wurzel (250)=5*Wurzel (10)=15,81.
Nun gibt es Tabellen für die Normalverteilung, in denen Du ablesen kannst, bis zu welchem Vielfachen der Standardabweichung wieviel Prozent der Werte sich um den Erwartungswert verteilen.
Da sich Deine 75 % symmetrisch verteilen sollen, bleiben links am Rand der Glockenkurve 12,5 % außerhalb des Intervalls, während 12,5 % rechts außerhalb bleiben.
Da der Erwartungswert bei genau 50 % liegt, ist der rechte Rand des Intervalls bei 87,5 %.
Nun schlägst Du in einer Tabelle der Gaußschen Summenfunktion nach, für welches x Phi(x) 0,875 beträgt.
Das ist bei x=1,15 der Fall.
Das bedeutet: Bis zum 1,15fachen der Standardabweichung nach links und nach rechts vom Erwartungswert liegen alle Werte innerhalb eines Intervalls von 75 % rings um diesen Wert.
Hier wäre das demnach 1,15*15,81=18,2.
Da Du schlecht 18,2 mal Kopf werfen kannst, mußt Du abrunden, um das Intervall nicht zu überschreiten.
Das bedeutet: 75 % aller Wurfserien lassen 500±18, also
zwischen 482 und 518 mal Kopf erwarten, wenn mit der Münze alles in Ordnung ist.
Herzliche Grüße,
Willy
Du hast eine Binomialverteilung mit den Parametern n=1000 und p=0,5
Der Erwartungswert ist p*n = 0.5*1000 = 500
Mit deinem Taschenrechner oder einer Tabelle bestimmst du den Wert, für den die kumulative Wahrscheinlichkeit 0,125 beträgt (je 12,5% rechts und links macht 75% dazwischen). Bei X=481 kommt 0,121 heraus, bei X=482 kommt 0,134 heraus.
Wie das genau geht, hängt von deinem GTR ab.
Im Intervall [482;518] liegen 75,8% der Werte. (richtige Lösung)
Im Intervall [483;517] liegen 73,2% der Werte. (Intervall zu klein)