Kann man vom Exponenten einer Funktion etwas über die Nullstellen dieser erfahren?

über den X-Wert einer Nullstelle nicht;
aber man kann sagen
wie viele NST möglich sind oder ob es mindestens eine gibt

Ja, zum Beispiel bei Polynomen: Ein Polynom vom Grad n (d. h. mit dem höchsten Exponenten n) hat genau n Nullstellen in der Menge der komplexen Zahlen (nicht reeller Zahlen!)

Es können noch mehr Informationen aus den Exponenten abgeleitet werden, da kommt es aber immer auf die Form der Funktion/Aufgabe an