Kann jemand mit dem Sandwich-Satz den Grenzwert berechnen?

n-te Wurzel von (a^n +b^n )

Mit konkreten Zahlen würde ich das hinbekommen, aber in der Form weiß ich nicht weiter

Answer 1

[Willibergi]

Für a, b ≥ 0 ist

$\displaystyle\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a^n+b^n} = \max\{a,b\}$

denn: Setze

$p := \max \{ a, b \}$

dann gilt

$p = \sqrt[n]{p^n} \leq \sqrt[n]{a^n + b^n} \leq \sqrt[n]{2p^n} = \sqrt[n]{2} p$

und bildet man den Limes auf beiden Seiten, ergibt sich die Behauptung mit dem Sandwichlemma.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Studium Mathematik

Comments

[han74]

geht alles gegen a

Answer 2

[aperfect10]

Nehmen wir mal an, dass a, b > 0 sind.

Dann habe ich folgenden Tipp (1):

$1 \leq \sqrt[n]{1+p^n} \leq 1 + p^n\quad \text{für } p\in (0,1)$

Noch ein Tipp (2):

Sagen wir erstmal, dass a > b.

$a^n+b^n = a^n\left(1+\frac{b^n}{a^n}\right) = a^n\left(1+\left(\frac{b}{a}\right)^n\right)$

Comments

[han74]

Also ist a=1 und p=b

[aperfect10]

@han74

Das meinte ich nicht. Aber ich gebe Dir gerne noch einen weiteren Hinweis (siehe oben).

Answer 3

[jjsch5]

Wie wär's wenn Du mal zwei verschiedene Zahlen einsetzt und den Rechenweg dann auf die allgemeine Form überträgst?

Woher ich das weiß: Hobby – Schule & Studium

Comments

[han74]

Das bringt ja nicht viel