Kann jemand ein Dialekt einer Fremdsprache erlernen?

Ja, das geht - wenn Du die Fremdsprache von einem Dialektsprecher erlernst und das idealerweise auch in der Gegend tust, wo dieser Dialekt die Art des Sprechens dominiert. Wenn jemand mit einer anderen Muttersprache Deutsch zum Beispiel von jemandem erlernt, der in Chemnitz zuhause ist (und er/sie auch in und um Chemnitz herum lebt, während er/sie es lernt), dann wird seine deutsche Aussprache am Anfang unweigerlich ans Sächsische erinnern, was Wortwahl, Tonfall und Sprachmelodie angeht. Das wird sich vermutlich aber relativ schnell abschleifen, wenn er später nach Hamburg, Berlin, Dortmund oder München zieht - "angelernter" Dialekt in einer Fremdsprache ist eben etwas anderes als der muttersprachliche Dialekt. Trotzdem werden bestimmte Eigenheiten in Satzbau, Wortwahl, Sprachmelodie vermutlich hängen bleiben und jemandem mit dem Ohr dafür einen Hinweis geben, in welcher Region der/die maßgebliche Lehrer(in) der Fremdsprache selbst zu Hause (gewesen) ist.

Wer von Mitmenschen und nicht aus Büchern lernt, lernt deren Sprache.

Wenn alle um einen herum Dialekt sprechen, lernt man eben auch den Dialekt.

Ein relativ bekanntes Beispiel: Gastarbeiter der ersten Generation, die zu einer Zeit nach Deutschland kamen, in der die meisten Fließbandarbeiter bestenfalls Hauptschulabschluss hatten und Hochdeutsch so wenig beherrschten wie Latein oder Altgriechisch.