Ist die Nullstelle von f ' (x) auch immer gleichzeitig eine Wendestelle?
Wenn ja, warum? Wäre froh, wenn mir das jemand erklären könnte, schreibe demnächst Abi!
Danke für eure Hilfe!
5 Antworten
Nope, die Nullstellen sind einfach alle Stellen, an denen der X-Wert bei Null liegt, es kann ja auch sein dass der Graph die X-Achse nur schneidet und im Minusbereich weiterläuft. Solche nennt man "Einfache Nullstellen", wenn die Nullstelle ein Wendepunkt ist spricht man von einer "Doppelten Nullstelle" Hier noch eine Grafik aus der Wikipedia dazu:
Und noch was: Wendestelle war ja nicht auf f(x) bezogen, sondern ebenfalls auf f ' (x), daher kann ja theoretisch an der Nullstelle auch eine Wendestelle vorliegen, oder?
Und die Frage war jetzt halt, ob das nur manchmal gilt, oder wirklich immer so ist, dass an der Nullstelle von f ' (x) auch die Wendestelle von f '(x) liegt
Also ich hab das an einigen Bsp. mal geguckt und lange überlegt haha, find das echt schwierig und ich glaube, dass es so sein muss!
@Piratt: Eine Nullstelle von f'(x) ist mindestens dann keine Wendestelle von f'(x), wenn sie kein Extremum von f''(x) ist.
Das ist z.B. bei der rot eingezeichneten Funktion von Incadenza so: Wenn du diese als eine Funktion f'(x) auffasst, dann hat f'(x) in ihrer Nullstelle ein Minimum; also hat ihre Ableitung f''(x) dort ebenfalls eine Nullstelle, wechselt in dieser das Vorzeichen von Minus nach Plus und kann also dort kein Extremum haben.
Eine Nullstelle von f'(x) ist genau dann eine Wendestelle, wenn sie eine Extremum von f''(x) ist. Beispiel:
f''(x) = 1 - (x -2)² = -x² +4x -3 hat eine Extremum bei (2|1),
denn der erste Term ist die Scheitelpunktform einer Parabel mit dem Scheitel (2|1).
f'(x) = -x³/3 + 2x² -3x +2/3 hat bei x = 2 eine Nullstelle, die Wendestelle ist.
Um f'(x) zu basteln, habe ich das unbestimmte Integral von f''(x) gebildet und die Konstante so gewählt, dass x = 2 eine Nullstelle ist.
@Incadenza: Falsch: Doppelte Nullstellen einer ganzrationalen Funktion f sind keineswegs notwendigerweise Wendepunkte von f. Sie sind sogar niemals Wendepunkte, wenn die ihre Ableitung dort das Vorzeichen wechselt; die doppelte Nullstelle der rot eingezeichneten Funktion ist daher sogar ein Gegenbeispiel.
Die Wendestellen einer Funktion sind genau die Extrema ihrer Ableitung. (1)
Daraus leitest du her: f hat mindestens dann eine Wendestelle, wenn
- f'' eine Nullstelle hat und f''' dort kleiner Null ist (und also f' ein Maximum hat), oder aber wenn
- f'' eine Nullstelle hat und f''' dort größer Null ist (und also f' ein Minimum hat), also insgesamt wenn
- f'' eine Nullstelle hat und f''' dort von Null verschieden ist (2);
dies ist das "klassische" (hinreichende) Kurvendiskussions-Kriterium für einen Wendepunkt.
Diese Herleitung von (2) aus (1) erspart dir, das Wendepunkt-Kriterium "extra zu lernen"; es ergibt sich einfach aus dem Kriterium für Maximum und Minimum, nur halt auf f' (statt wie sonst auf f) angewandt.
VORSICHT: Das Kriterium (2) ist nur hinreichend, nicht notwendig. Das heißt, es gibt auch Fälle, in dem f einen Wendepunkt ( = f' ein Extremum) hat, ohne dass (2) erfüllt ist.
Das ist genau dann der Fall, wenn
- f'' in einer Nullstelle das Vorzeichen wechselt, aber
- f'' dort selbst eine horizontale Tangente hat (und also auch f''' dort eine Nullstelle hat);
diese beiden Bedingungen sind zusammengenommen gleichbedeutend damit, dass
- die Nullstelle von f'' ein Terassenpunkt ( = Sattelpunkt) von f'' ist.
In solchen Fällen untersuchst du am besten direkt, ob f'' in seiner Nullstelle das Vorzeichen wechselt oder nicht.
. . .
Ein praktisches Beispiel hierfür ist y = x^5, denn
- y'' = 20x³ hat bei x = 0 eine Nullstelle, aber
- y''' = 60x² auch;
also ist (2) nicht erfüllt. - Trotzdem hat
- y bei x = 0 einen Wendepunkt, denn
- y'' hat bei x = 0 einen Terrassenpunkt.
Das wiederum folgerst du am einfachsten daraus, dass
- y'' punktsymmetrisch zum Ursprung ist und also
- y'' bei x = 0 nicht nur eine Nullstelle hat, sondern dort auch das Vorzeichen wechselt.
. . .
Anders liegt der Fall bei y = x^4, denn
- y'' = 12x² hat bei x = 0 eine Nullstelle, und
- y''' = 24x² auch;
also ist auch hier (2) nicht erfüllt. - In dem Fall hat aber
- y bei x = 0 keinen Wendepunkt, denn
- y'' hat bei x = 0 keinen Terrassenpunkt.
Das wiederum folgerst du am einfachsten daraus, dass
- y'' achsensymmetrisch zur y-Achse ist und also
- y'' bei x = 0 zwar eine Nullstelle hat, aber dort das Vorzeichen nicht wechselt.
Vielen, vielen Dank, dass du dir so viel mühe gemacht hast, hat auch super weitergeholfen!
Ich weiß nicht, ob die Menge der Antworten dir weiter geholfen hat.
Die einfache Antwort "nein" hätte auch schon gereicht. Wenn nämlich f ' (x) = 0 ist, haben wir es mit einem Extremwert zu tun, und diese sind ersichtlich nur in seltenen Fällen (Sattelpunkte der Originalfunktion) auch Wendestellen.
Um das noch nachzutragen:
bei einem Wendepunkt haben wir eine dreipunktige Berührung.
...ähm: Nein. Zwar haben sowohl Sattelpunkte als auch Extremwerte horizontale Tangenten ( ⇔ f'(x) = 0), aber ein Sattelpunkt ist defnitionsgemäß kein Extremwert.
Richtig ist, dass alle Sattelpunkte Wendestellen sind (denn Wendepunkte sind x-Achsen-Berührungen der Ableitung und somit Extrema der Ableitung)
Hingegen kann ein Extremum nie Wendepunkt sein (denn Extremstellen sind x-Achsen-Schnitte der Ableitung und somit nie Extrema der Ableitung).
Die Frage kannst Dir eigentlich ganz gut selbst beantworten. Die 1. Ableitung gibt Dir die Steigung der jeweiligen Funktion an. Wie groß ist denn die Steigung bei einer Wendestelle (damit meine ich keine Sattelstelle). Doch nicht 0, oder?
Ne, Wendestelle war ja nicht auf f(x) bezogen, sondern ebenfalls auf f ' (x), daher kann ja theoretisch an der Nullstelle auch eine Wendestelle vorliegen, oder?
Und die Frage war jetzt halt, ob das nur manchmal gilt, oder wirklich immer so ist, dass an der Nullstelle von f ' (x) auch die Wendestelle von f '(x) liegt
@poldiac: Eine Wendestelle kann eine beliebige Steigung habe, auch die Steigung 0. Alle Sattelstellen sind (auch) Wendestellen, aber nicht umgekehrt.
(Eine Wendestelle von f ist genau dann eine Sattelstelle, wenn f' dort [in einem Extremum, das auch Nullstelle ist] die x-Achse von oben oder aber unten berührt [und also das Vorzeichen nicht wechselt])
Nein muss nicht nur wenn es x hoch 3 ist ;)
Ok, danke schonmal! Aber wieso ist im 2. Bsp. überhaupt eine Wendestelle? der Graph ist doch auch danach noch weiterhin nach links gekrümmt, oder sehe ich das falsch?
Beste Grüße Piratt