Ist (ab) modulo 3 = a modulo 3 * b modulo 3?
1 Antwort
Nein, nicht unbedingt.
Zwar gilt im Restklassenring modulo 3 (also in ℤ₃)...
ABER es gilt nicht unbedingt (a ⋅ b) mod 3 = (a mod 3) ⋅ (b mod 3). Denn beispielsweise ist für a = b = 2...
Lies nochmal, was du geschrieben hast. Dann wirst du vielleicht erkennen, dass das, was du gerade geschrieben hast, vollkommen unverständlich sein.
(ab+c) mod 3 gilt
Was gilt? (ab+c) mod 3 ist ein Term, aber keine Aussage bzw. Aussageform, die wahr oder falsch sein kann.
dann (a mod 3 * b mod 3 + c mod 3) * mod 3
Da ist insbesondere das „* mod 3“ unverständlich. „mod 3“ kann man nicht mit irgendwas multiplizieren. Das ergibt so keinen Sinn.
Seien a, b natürliche Zahlen. Gilt dann diese Umformung? Die steht so im Skript.
(ab+c) mod 3 = ((a mod 3 * b mod 3 )+ c mod 3) mod 3 = ((a mod 3 * b mod 3 )+ c mod 3)? Gibt glaub so eine mod regel.
Der erste Schritt stimmt... Es gilt
(a ⋅ b + c) mod 3 = ((a mod 3) ⋅ (b mod 3) + (c mod 3)) mod 3
für alle ganzen Zahlen a, b, c. (Insbesondere gilt das dann natürlich auch für alle natürlichen Zahlen a, b, c.)
ABER: Man kann dann hier nicht einfach das hintere „mod 3“ weglassen.
Beispiel...
Für a = 1 und b = 1 und c = 2 gilt einerseits
((a mod 3) ⋅ (b mod 3) + (c mod 3)) mod 3
= ((1 mod 3) ⋅ (1 mod 3) + (2 mod 3)) mod 3
= (1 ⋅ 1 + 2) mod 3
= (1 + 2) mod 3
= 3 mod 3
= 0
und andererseits jedoch
((a mod 3) ⋅ (b mod 3) + (c mod 3))
= ((1 mod 3) ⋅ (1 mod 3) + (2 mod 3))
= (1 ⋅ 1 + 2)
= (1 + 2)
= 3
Und offensichtlich ist 0 ≠ 3.
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Genauso gilt übrigens, passend zu deiner ursprünglichen Frage, zwar einerseits
(a ⋅ b) mod 3 = ((a mod 3) ⋅ (b mod 3)) mod 3
aber andererseits nicht unbedingt
(a ⋅ b) mod 3 = (a mod 3) ⋅ (b mod 3).
aber wenn man (ab+c) mod 3 gilt dann (a mod 3 * b mod 3 + c mod 3) * mod 3?