Höhe eines Baumes bestimmen - Vektoren?
Hallo liebe Community, ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter: Legt man ein Koordinatensystem über ein ebenes Gelände (Längeneinheit 1m), so befindet sich der Fußpunkt eines gerade gewachsenen Baumes im Punkt F=(-1|5|0). Haben die Sonnenstrahlen die Richtung v = Vektor(1|-1|-3) so wirft die Spitze des Baumes ihren Schatten auf den Punkt S'=(2|2|0). Bestimmen Sie die Höhe des Baumes. Mein Ansatz wäre das mit der Zentralprojektion zu machen, aber wie genau, da bin ich überfragt. Würde mich sehr über Hilfestellungen freuen! Danke schon einmal im Voraus!
3 Antworten
Du hast ein rechtwinkliges Dreieck bestehend aus Baum und Schattenwurf mit dem Sonnenstrahl von der Baumspitze zum Endpunkt des Schattens als Hypotenuse.
Über den Sinus- und Cosinussatz des gegenüber dem Baum eingeschlossenen Winkels lässt sich dessen Höhe bestimmen.
sin(Winkel) = Schatten / Sonnenstrahl
=> Winkel = arcsin(Schatten / Sonnenstrahl)
cos(Winkel) = Baum / Sonnenstrahl
=> Baum = cos(Winkel) • Sonnenstrahl
Was eine Zentralprojektion ist, müsste ich erst einmal nachlesen. Damit hatte ich zuletzt vor etwa 27 Jahren zu tun.
Hallo,
es geht noch etwas einfacher:
Der Baum wächst in z-Richtung vom Fußpunkt aus. Seine Spitze hat also die Koordinaten (-1/5/z)
Wenn Du zu diesem Punkt ein Vielfaches des Vektors (1/-1/-3) addierst, mußt Du auf den Punkt (2/2/0) kommen.
Also: (-1/5/z)+s*(1/-1/-3)=(2/2/0)
s ist schnell bestimmt, da -1+s*1=2, woraus folgt, daß s=3
Nun mußt Du Dich nur noch um die z-Koordinate kümmern:
z+3*(-3)=0
z-9=0
z=9
Herzliche Grüße,
Willy
S' - n*v = S
S ist ja gerade über Punkt F. => S=(-1|5|z)
Daraus ergibt sich oben 3 Gleichungen mit 2 Unbekannten.
ist ist dann für z=9 richtig?