Hilfe (Mathe Abitur)?
Wie kann bei solchen Aufgaben vorgehen?
1 Antwort
Aussenrand f(x) = 0.0064x³ - 0.146x² + 0.89x + 1.8
Innenrand g(x) = 0.008x³ - 0.186x² + 1.185x + 1
Diese Aufgabe lässt sich meiner Ansicht nach nur mit einem Taschenrechner lösen, weil die Funktionen f und g für die Rotationsintegrale quadriert werden müssen und dann auch noch eine Stammfunktion gebildet werden muss. Das im Rahmen eines Abis manuell rechnen zu sollen, betrachte ich als kompletten Unfug. Aus diesem Grund zeige ich nur den Lösungsweg.
a)
Gesucht ist das Maximum von f(x)
f'(x) = 0 und f''(x) < 0 für x ~ 4.21755
Der maximale Durchmesser an dieser x-Stelle beträgt ~ 2*3.44 = 6.88 cm
b)
Das gesuchte Volumen entspricht dem Rotationsintegral von g(x) im Intervall [0.5, 9] :
und ergibt ~ 222.40 cm³ (ml)
c)
Das gesuchte Volumen entspricht dem obigen Rotationsintegral von g(x) im Intervall [0.5, 4.6] und ergibt ~ 102.23 cm³ (ml)
d)
Das Gesamtvolumen des Gefässes entlang der Aussenkante beträgt
und ergibt ~ 263.71 cm³
Das Volumen des reinen Glases ergibt sich aus der Subtraktion des Innenvolumens aus Aufgabe b):
(263.71 - 222.40)*2.5 = 103.8 g
e)
Gesucht ist die Intervallgrenze [0.5, h], sodass das Rotationsintegral
120 cm³ ergibt. Das ist für h ~ 5.045 cm der Fall.
Welche Lösungen hast Du denn ? (ich kann erst morgen antworten)
a) x=0,5 und Durchmesser: 0,662cm
b)V=34,93
c) interval 0,5 bis 4,6 V=22,46
d)105,2 g/cm2
e) h= 8,16 cm
Deine Lösungen sind falsch. Ich vermute, dass Du von Flächen ausgehst, hier geht es aber um Volumen. Diese Volumina lassen sich nur über das Rotationsintegral berechnen. Diese Integrale sind in meiner Antwort alle angeben. Diese samt Stammfunktion im Klartext darzustellen, wäre viel zu umständlich.
Hier kurze Hinweise, warum Deine Lösungen nicht richtig sein können:
a)
Aus der Zeichnung geht hervor, dass der Durchmesser des Glases mindestens 2*3 = 6 cm beträgt.
b)
Ein ca. 9 cm hohes Glas mit einem ca. Durchmesser von 6 cm hat ein grösseres Volumen als 35 cm³
c)
Am Eichstrich für 0.1 Liter sollte das Volumen ca. 100 cm³ betragen.
d)
Das Gewicht des Glases wird in Gramm angegeben, nicht in g/cm²
e)
Wenn das Gesamtvolumen nur 35 cm³ beträgt, können niemals 120 cm³ eingefüllt werden.
Aber bist du dir zu 100% sicher das deine Lösungen richtig sind? Ich wurde dann deine lösungen übernehmen hoffe du hast es richtig
Ich bin mir sicher. Aber stelle doch die Frage nochmals ein, ob jemand meine Antwort bestätigen kann. Die Grundlagen zu dieser Aufgabe findest Du hier: https://abiturma.de/mathe-lernen/analysis/integralrechnung/rotationskorper
Hey, ich habe jetzt alle Aufgaben gemacht, außer 2a ich verstehe nicht wie du es gemacht hast. Kannst du es mir kurz erklären oder deine Rechenschritte schicken?
Es geht bei diesen Aufgaben immer um das Volumen von "Rotationskörpern". Ich erkläre das mal so: gegeben sei eine konstante Funktion f(x) = 3 im Intervall [0,10].
Diese Funktion sieht aus wie ein waagrechter Stab der Länge 10. Lässt man diesen Stab um die x-Achse rotieren, formt sich ein Zylinder der Höhe 10 (weil der Stab unabhängig von der Drehrichtung immer den Abstand 3 zur x-Achse behält).
Will man das Volumen dieses Rotationskörpers (in diesem Fall Zylinder) berechnen, verwendet man das Rotationsintegral:
pi * Integral[a,b] f²(x) dx.
Das ist nicht meine Idee, sondern die Standardlösung bei solchen Aufgaben, ähnlich der pq-Formel bei der Suche nach Nullstellen bei einer quadratischen Funktion.
Im Beispiel lautet das Rotationsintegral:
pi * Integral[0,10] 3² dx.
Die Stammfunktion von 9 lautet 9x. Das Ergebnis lautet also
pi*9*10 - pi*9*0 = pi*9*10.
Das entspricht dem Volumen eines Zylinders mit Radius 3 und Höhe 10.
Dieses Verfahren funktioniert genauso, wenn f(x) nicht konstant, sondern eine beliebige Funktion darstellt. Einzige Bedingung f(x) >= 0 im gegebenem Intervall.
In der Aufgabe steht f(x) für die Aussenkante eines Glases. Lässt man diese Aussenkante um die x-Achse rotieren, formt sich ein Glas als Volumenkörper.
Kannst du mit auch bitte deine Rechenwege schicken? Ich habe komplett andere Lösungen 🥲