Herleitung newton verfahren?
Hallo,
ich bin sehr an der Mathematik begeistert und nehme mir grade das Newtom verfahren vor. Ich möchte das einen einer Beispielfunktion genau wissen, denn dort habe ich nur probleme und komme zu keiner Lösung.
Die Funktion ist f(x) = -x^3 + 3x^2 - 8
Ich würde mich freuen wenn jemand eine komplett Herleitung dazu aufstellen könnte.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen und vielen Dank im vorraus.
1 Antwort
Man betrachte einen Startpunkt (x_0 | f(x_0) ) mit x₀ aus der (maximalen) Definitionsmenge von f.
Legt man nun die Tagente t zu diesem Punkt an den Punkt und berechnet die Nullstelle von dieser, die wir x_1 nennen, dann machen wir das selbe für den Punkt (x_1 | f(x_1) ).
Die Nullstelle der Tangente an diesem Punkt sei dann x_2 und wieder das selbe usw.
Man berechnet also wegen der Tangentengleichung
t(x, x_0) = f'(x_0) (x – x_0) + f(x_0)
0 = f'(x_0) (x – x_0) + f(x_0)
x = x_n – f(x_n) / f'(x_n)
also weil die Nullstelle die nächste Stelle ist
x_(n+1) = x_n – f(x_n) / f'(x_n)
Wieso geht man so vor?
Geometrisch kann man es so begründen, dass man durch das Berechnen der Nullstellen der Tagenten immer näher an eine Nullstelle der ursprünglichen Funktion kommt. Die Konvergenz kann aber vom Startwert abhängen.
Hier anschaulich für dein Pronlem dargestellt (in der Abbildung ist x_0 = –5).
Du siehst, wie nähern uns immer mehr der Nullstelle an.
Rechenweg
x_(n+1) = x_n – f(x_n) / f'(x_n)
x_(n+1) = x_n – (–(x_n)^3+3(x_n)^2–8) / (–3(x_n)^2+6(x_n))
Hier mit Startwert x_0 = –5:
x_0 = –5
x_1 = –5 – f(–5) / f'(–5) ≈ –3.17
x_2 = –3.17 – f(–3.17) / f'(–3.17) ≈ –2.07
x_3 = –2.07 – f(–2.07) / f'(–2.07) ≈ –1.53
x_4 = –1.53 – f(–1.53) / f'(–1.53) ≈ –1.35
x_5 = –1.35 – f(–1.35) / f'(–1.35) ≈ –1.36
x_6 = –1.36 – f(–1.36) / f'(–1.36) ≈ –1.36
Nach der siebten Iteration ändert sich der Wert nicht. Hier können wir also aufhören.
Die Nullstelle ist also ungefähr bei –1,36. Ich habe aber mit nur zwei Nachkommastellen gerechnet, was nicht sehr genau ist, dennoch ist der Rundungswert der genaueren Lösung x = –1,35530139760812 natürlich gleich.
Können sie/du mir bitte sagen wie die website heißt mit der sie die graphen zeichnen lassen?
Geogebra: https://www.geogebra.org/calculator
Ich habe es auf dem Handy als App.
können sie mir auch bitte sagen wie sie auf den startwert x_0=-5 gekommen sind? war das einfach so geraten oder per wertetabelle gemacht?
Man kann auch jeden anderen Startwert nehmen. Allerdings kann die Konvergenz vom Startwert abhängen.
Wenn zum Beispiel ein Minimum und ein Maximum das selbe Vorzeichen haben, sei Minimum sei links vom Maximum und die Nullstelle recht von ihm, dann kann das Newton-Verfahren nur konvergieren, wenn man rechts des Maximums ein Startwert nimmt. Denn sonst würde man jedes mal, wenn man zwischen den beiden Extrema eine Stelle erhält sich wieder von der Nullstelle entfernen (kannst es ja mal ausprobieren, wenn du deine Funktion einfach nur hoch genug verschiebst).
Allgemein für ganzrationale Funktionen (Polynome) wäre es gut, wenn du dir eine Tabelle machst, wo die Extrempunkte und Vorzeichen dieser einträgst, sowie das Globalverhalten betrachtest. Bei deiner Funktion sähe diese Tabelle so aus:
x->–∞ | 0 | 2 | x->+∞
f(x)->+∞ | –8 | –4 | f(x)->–∞
+ | – | – | –
Du siehst also, dass die beiden Extrema TP(0|–8) und HP(2|–4) das selbe Vorzeichen haben. Rechts des Maximums kommt also keine Nullstelle mehr (weil Minimum –8 kleiner Maximum –4, ist die Funktion f zwischen TP und HP streng monoton steigend, also ist f - weil HP ein lokales Extremum ist - für x > 2 streng monoton fallend (an einem lokalen Extremum ändert sich die Monotonie). Es kann also kein positiver Funktionswert, also auch keine Nullstelle mehr angenommen werden. Für x > 0 brauchen wir also gar keine Nullstelle mehr suchen.
Links des TP sehen wir aber, dass es wegen dem Globalverhalten (geht ins positive Unendliche) noch genau eine Nullstelle geben muss (wenn es mehr als eine gäbe, müsste es auch noch lokale Extrema geben). Für die Nullstelle x_0 gilt also x_0 < 0.
In diesem Bereich setzen wir dann auch unseren Startwert.
Würden wir zum Beispiel als Startwert x = 1 wählen, würden wir solange als nächste Stellen x > 1 bekommen (weil f für 0 < x < 2 streng mon. steigend ist), bis wir eine Stelle x > 2 haben. Denn dort ist f dann wieder streng mon. fallend. Eine Tangente an solchen Stellen würde also wieder eine negative Steigung haben, als Nullstelle also eine links von ihrem Berührpunkt mit f (wir sind unter der x-Achse, siehe Tabelle Funktionswerte). Je nach Steigung kann es nun passieren, dass wir mit dem Newton-Verfahren höchstens wieder eine Stelle zwischen den beiden Extrema berechnen können. Wenn wir in diesem Bereich sind kommen wir aber wieder auf Werte rechts des Maximums. Wir sind also in einer Schleife.
Es muss zwar allgemein nicht passieren, kann es aber. Daher ist man nur sicher, wenn man innerhalb des Intervalls einen Startwert nimmt, wo man die Nullstelle abschätzen kann. Bei unserem Beispiel ist das jetzt (–∞, 0) - offen, die Null gehört nicht dazu.
Als ein weiteren Beispiel wähle ich
g(x) = 2 x⁴ – 15 x² – 6 x + 1.
Extrema sind (gerundet)
TP(–1,83|–29,65)
HP(–0,20|0,72)
TP(2,03|–37,37)
und wenn man noch das Globalverhalten betrachtet, so sieht die Tabelle so aus
x->–∞ | –1,83| –0,20 | 2,03 | x->+∞
f(x)->+∞ |–29,65 |0,72 |–37,37 |f(x)->+∞
+ | – | + | – | +
Nullstellen haben wir also in den Intervallen (–∞, –1.83), (–1.83, –0.20), (–0.20, 2.03) und (2.03, +∞).
Es gibt also vier Nullstellen. Und für jede Nullstelle muss auch ein Startwert innerhalb des entsprechenden Intervall nehmen. Wir können also nicht die Startwert x_0 = 1 nehmen, um die Nullstelle in dem zweiten Intervall oben zu berechnen, damit können wir nur die aus dem dritten berechnen.
ich habe eine kurze Frage noch. Zuerst wirklich vielen dank für diesen aufwand. Meine frage ist ob dieses Newton Verfahren anhand der Beispielfunktion von der eigentlichen Frage irgendwelche grenzen bietet ? Also die Funktion f(x) = -x^3 + 3x^2 - 8
Ja, habe ich auch gennant oben ;)
x->–∞ | 0 | 2 | x->+∞
f(x)->+∞ | –8 | –4 | f(x)->–∞
+ | – | – | –
Nach x = 0 kann keine Nullstelle liegen, da alle Funktionswerte unter der x-Achse sind. Die Grenzen für die Nullstelle sind also –∞<x<0. Wobei "–∞" natürlich keine Grenze ist, man schreibt dann nur x<0.
Als Startwert kannst du also –18•10⁶, aber auch –0,0001 wählen - jede negative Zahl (ich habe einfach so –5 als Startwert genommen).
Was ich noch vergessen habe. Wenn du ein Intervall bzw. Abschätzung für eine Nullstelle hast und diese zwischen zwei Extremstellen liegt, würde ich den mittleren Wert der beiden Extremstellen als Startwert wählen. Warum? Wenn man zu nahe an einem Extremum ist, kann die Steigung so gering sein, dass man im nächsten Schritt des Newton-Verfahrens das Intervall verlässt (die Tangente ist dann fast parallel zu x-Achse und hat dementsprechend ein betragsmäßig große Nullstelle).
Wenn das Verfahren dann nicht konvergiert, weiß ich auch nicht weiter.
können sie mir auch bitte sagen wie sie auf den startwert x_0=-5 gekommen sind? war das einfach so geraten oder per wertetabelle gemacht?
vielen dank für diese umfangreiche erklärung . Können sie/du mir bitte sagen wie die website heißt mit der sie die graphen zeichnen lassen?