Newton-Verfahren einfach erklärt?

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4 Antworten

Das Newtonverfahren ist ein Verfahren um die Nullstellen einer Funktion zu berechnen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren

Nehmen wir mal an, du hast eine Funktion f(x)

Das Newtonverfahren läuft dann folgendermaßen ab :

1.)

Wähle einen Startwert für x, den kannst du anhand einer Wertetabelle oder einer Zeichnung der Funktion erhalten, oder den Startwert systematisch durchprobieren.

Dieser Startwert stellt eine erste Näherung für eine Nullstelle dar.

2.) Berechne :

z = x - f(x) / f´(x)

3.) Vergleiche z und x miteinander, wenn sie sich zu stark von einander unterscheiden, dann mache weiter, wenn nicht dann springe zu 6.)

4.) Setzte x = z

5.) Springe zu 2.)

6.) Setze x = z

7.) x ist das Endergebnis, beende den Algorithmus jetzt.

Man braucht für das Newton-Verfahren die zu untersuchende Funktion, die 1-te Ableitung dieser Funktion und einen Startwert / Näherungswert.

Das Newton-Verfahren konvergiert nicht immer, aber erfahrungsgemäß ziemlich oft.

Auf Youtube kannst du auch mal schauen :

https://www.youtube.com/results?search_query=newton+verfahren


Formel x2=x1-f(x1)/f´(x1) Tangentenverfahren nach Newton

Beispiel : gegeben die Funktin f(x)=a3*x³+a2*x²+a1*x+ao

abgeleitet f´(x)=3*a3*x²+2*a2*x+a1

Hier muss man durch probieren eine "angenäherte " Nullstellen ermitteln,die hier in der Formel mit x1 dargestellt ist (dies ist der "Startwert").

Ergebnis ist der "verbesserte" Wert x2 und dieser wird dann in die Formel eingesetzt

also x3=x2-f(x2)/f´(x2) man erhält dann den nochmals "verbesserten" Wert x3

Das Verfahren wird so lange wiederholt,bis die Genauigkeit ausreicht.

HINWEIS : Es gibt auch noch die Formel von "Regula falsi" (Sehnenverfahren)

Vorteil : Man braucht nicht ableiten.

Formel x3=x2-(x2-x1)/(y2-y1) *y2 mit x2>x1

y2=f(x2) und y1=f(x1)

HINWEIS : Hier muss die Nullstelle zwischen x2 und x1 sein und x2 muss größer als x1 sein !!!

Näherungsweise Nullstellensuche. Das genaue Vorgehen findest du auf Wikipedia, Youtube und auf vielen anderen Seiten...

M=F x L oder so^^

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