Wann nimmt man das Newton verfahren her?

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Die Polynomdivision macht nur dann Sinn, wenn du eine Gleichung lösen möchtest, deren Grad größer gleich 3 ist. Für Grad 2 gibt es die pq-Formel und für Grad 1 handelt es sich um eine lineare Gleichung, deren Lösung kein größeres Problem darstellt.

Dann ist die Polynomdivision als Lösungsmethodik für jeden höheren Grad geeignet. Der große Nachteil einer Polynomdivision ist, dass man dafür eine Nullstelle erkennen muss um später diesen Linearfaktor abzuspalten und den Grad um Eins zu reduzieren. Dies muss so lange geschehen bis du nicht mehr auf die Polynomdivision zurückgreifen musst. Du also Grad 2 erreicht hast. Du kannst natürlich schon vorher abbrechen, wenn du etwa eine geschickte Faktorisierung erkennst. Im Allgemeinen muss man sie jedoch so lange durchführen.

Was ist wenn ich eine Nullstelle nicht finde, weil sie "unschön" ist. Also vielleicht eine Dezimalzahl mit vier Nachkommastellen? Sowas sieht man nicht. Genau hier kommt das Newton-Verfahren zum Einsatz. Denn dies ist ein geeignetes Näherungsverfahren für solche Nullstellen. Dabei geht das Newton-Verfahren und die Polynomdivision Hand in Hand. Zu erst näher ich eine Nullstelle mit dem Newtonverfahren und führe dann damit eine Polynomdivision durch (was relativ ekelig ist). Aber irgendwie muss auch die Existenz von keinen weiteren, oder mehr Nullstellen begründet werden. Das kann man aber auch mit anderen Überlegungen schaffen, wie einer Wertetabelle und dem sogenannten Zwischenwertssatz, den du im Zusammenhang mit dem Newton-Verfahren sicher gehört hast. Für die exakte Berechnung dieser Nullstellen brauchst du dann unter Umständen eben Newton. Wenn es nur um die Existenz geht, dann reichen einfachere Überlegungen.

Antwort für Wissenschaftler oder Mathematiker:
Bis zum Grad 4 kann man die Nullstelle exakt per expliziter Formel lösen:
Grad 2: pq-Formel
Grad 3: PQRST-Formel
Grad 4: PQRSTUVW
http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php
erst ab Grad 5 also.
Un natürlich bei komplizierten hypergeometrischen Funktionen.
Für Funktionen mit x * e^x gibt es die Umkehrfunktionen LambertW und PolyLog ...

Für Schüler:
Bis Grad 2 ist pq-Formel (umgestellt auch Mitternachtsformel) bekannt.
Ab Grad 3 stellen Lehrer nur Aufgaben, wo sich durch Substitution was vereinfachen lässt oder wo eine Nullstelle leicht erraten werden kann -> danach Polynomdivision.

Die Umkehrfunktion von x * e^x ist nicht bekannt -> Newton verfahren

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Zusatz: natürlich gibt es auch für Grad 4 bis 6 Spezialfälle:
Grad 4: Biquadratische... usw.

Natürlich wollen Lehrer manchmal absichtlich für Grad 3 das Newton Verfahren und hier kann man nicht "raten": 0=8x³-35x²+37-2

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Ich bin zwar kein Fan von Näherung oder numerischen Methoden, aber mir ist das Newton-Verfahren doch deutlich lieber als eine dieser Lösungsformeln von Cardano und co. anzwenden, die in der Schule auch überhaupt nicht thematisiert werden.

Naja, eine Referenz auf Lambert-W ist vielleicht auch nicht sinnig.

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