Diskriminante oder Lösungsformel?!
Hallo Leute,
mir ist nicht so klar wann ich Diskriminante in wann ich die komplette Lösungsformel hernehme. Zum Beispiel hab ich jetzt den Term: 3x²-18x+a-10 = 0 und muss herausfinden, bei welchem a diese keine Extrempunkte hat. In der Lösung steht man nimmt nur die Diskriminante her und schaut sie sich an. Aber normalerweise nimmt man doch bei Extrempunkten die Lösungsformel her um Nullstellen zu berechnen oder?
Könnt ihr mir bitte erklären wann ich was hernehme?
7 Antworten
Hi :)
Nehmen wir mal folgende Gleichung:
3x² -18x +6a-12 = 0
Also: Das a ist hier eine beliebige Zahl, eine Konstante.
Nehmen wir doch mal die PQ-Formel her und ermitteln die Diskriminante:
x² -6x +2a -4 = 0
p = -6; q= 2a-4
x = 3 +- Wurzel (9-4+2a)
= 3+- Wurzel (5+2a)
Nun, hier muss a größer oder gleich -2,5 sein, denn bei a = -2,5 ergäbe die Diskriminante Null.
Bei f(x) = ax² +bx +c, also bei quadratischen Funktionen, gibt es immer ein Extremum! Da spielt die Diskriminante dann keine Rolle - außer, wenn sie null ist! Denn dann liegt nämlich genau eine Nullstelle bei der quadratischen Funktion vor - das ist dann gleichzeitig auch die Extremstelle! Ist die Diskriminante positiv, dann gibt es zwei NST, ist sie negativ, gibt es keine NST.
Und genau das brauchen wir jetzt! Wenn wir uns jetzt allgemeine Potenzfunktionen dritten Grades angucken:
f(x) = ax³ +bx² +cx +d,
dann berechnet man das Extremum ja mit der ersten Ableitung:
f'(x) = 3ax² +2bx +c;
Diese ist eine quadratische Funktion. Und wie ermittelt man Extremstellen? Logo, indem man die Nullstellen der Ableitungsfunktion berechnet. Diese ermittelt man, wie oben gezeigt, mit der pq-Formel. Es gilt dann:
- Diskriminante negativ: Keine Extremstelle(n)
- Diskriminante 0: Genau eine Extremstelle => Sattelpunkt!
- Diskriminante positiv: zwei Extremstellen
Die Diskriminante ist der Term unter der wurzel.
Wenn du jetzt Scharen von Polynomfunktionen dritten Grades hast, wie im Beispiel der Fall, dann hast du immer bei der Ableitungsfunktion diese Parameter und diese werden mit Sicherheit auch in der Diskriminante vorkommen. Wenn du jetzt also zum Beispiel folgende Ausgabe ermitteln solltest:
Für welche a hat die Funktionenschar f(x) = blablabla genau eine / keine / zwei Extremstellen? Dann ermittelst du halt die Diskriminante und schaust dann, welche Werte a annehmen muss, damit die Diskriminante negativ, Null oder positiv ist.
Ich hoffe, ich konnte dir helfen. Bei Fragen melde dich ;)
LG ShD
Die Diskriminante gibt Aufschluss über die Anzahl reeller Nullstellen. Die Lösungsformel rechnet sie explizit aus.
bei: Diskriminante > 0 --> 2 Lösungen
Diskriminante = 0 --> 1 Lösung
Diskriminante < 0 --> keine Lösung
Du brauchst die Diskriminante (lat. die Entscheidende) nur, um im Voraus zu sagen, ob eine quadratische Gleichung zwei, eine oder gar keine Lösung hat. Für manche Zwecke reicht das schon, und man braucht sich gar nicht erst die Mühe zu machen, die Nullstellen auszurechnen, z.B. dann, wenn es eben gar keine geben wird, oder wenn man nur im Voraus wissen will, ob eine Nullstelle auch ein Extremwert sein wird.
Die Diskriminante ist das, was unter der Wurzel steht.
Vermutlich suchst Du die Extrema der Funktion f(x) = x³ ‒ 9x² + (a ‒ 10)x
also die Nullstellen von f ‘(x) = 3x² ‒ 18x + a ‒ 10 , also x² ‒ 6x + ⅓(a ‒ 10) = 0
Die p-q-Formel liefert x = 3 ± √{9 ‒ ⅓(a ‒ 10)} .
Der Radikand ist die Diskriminante; wenn sie < 0 ist, gibt es keine Lösung.
Also für 9 ‒ ⅓(a ‒ 10) < 0 oder 9 < ⅓(a ‒ 10) oder 27 < a ‒ 10 oder a > 17.