Diskriminante oder Lösungsformel?!

7 Antworten

Hi :)

Nehmen wir mal folgende Gleichung:

3x² -18x +6a-12 = 0

Also: Das a ist hier eine beliebige Zahl, eine Konstante. 

Nehmen wir doch mal die PQ-Formel her und ermitteln die Diskriminante:

x² -6x  +2a -4 = 0

p = -6; q= 2a-4

x = 3 +- Wurzel (9-4+2a)

= 3+- Wurzel (5+2a)

Nun, hier muss a größer oder gleich -2,5 sein, denn bei a = -2,5 ergäbe die Diskriminante Null.

Bei f(x) = ax² +bx +c, also bei quadratischen Funktionen, gibt es immer ein Extremum! Da spielt die Diskriminante dann keine Rolle - außer, wenn sie null ist! Denn dann liegt nämlich genau eine Nullstelle bei der quadratischen Funktion vor - das ist dann gleichzeitig auch die Extremstelle! Ist die Diskriminante positiv, dann gibt es zwei NST, ist sie negativ, gibt es keine NST.

Und genau das brauchen wir jetzt! Wenn wir uns jetzt allgemeine Potenzfunktionen dritten Grades angucken:

f(x) = ax³ +bx² +cx +d,

dann berechnet man das Extremum ja mit der ersten Ableitung:

f'(x) = 3ax² +2bx +c;

 Diese ist eine quadratische Funktion. Und wie ermittelt man Extremstellen? Logo, indem man die Nullstellen der Ableitungsfunktion berechnet. Diese ermittelt man, wie oben gezeigt, mit der pq-Formel. Es gilt dann:

  • Diskriminante negativ: Keine Extremstelle(n)
  • Diskriminante 0: Genau eine Extremstelle => Sattelpunkt!
  • Diskriminante positiv: zwei Extremstellen

Die Diskriminante ist der Term unter der wurzel.

Wenn du jetzt Scharen von Polynomfunktionen dritten Grades hast, wie im Beispiel der Fall, dann hast du immer bei der Ableitungsfunktion diese Parameter und diese werden mit Sicherheit auch in der Diskriminante vorkommen. Wenn du jetzt also zum Beispiel folgende Ausgabe ermitteln solltest:

Für welche a hat die Funktionenschar f(x) = blablabla genau eine / keine / zwei Extremstellen? Dann ermittelst du halt die Diskriminante und schaust dann, welche Werte a annehmen muss, damit die Diskriminante negativ, Null oder positiv ist.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen. Bei Fragen melde dich ;)

LG ShD

Wenn danach gefragt ist, wo die Extrempunkte/Nullstellen liegen, brauchst du die gesamte Lösungsformel. Wenn danach gefragt ist, wieviele Extrempunkte/Nullstellen existieren, reicht es die Diskriminante auszurechnen.

Diskriminante<0 => Keine Extrema/Nullstellen

Diskriminante=0 => Genau ein(e) Extremum/Nullstelle

Diskriminante>0 => Genau zwei Extrema/Nullstellen

Das setzt natürlich voraus, dass die Ableitung ein Polynom zweiten Grades (also quadratisch in x) ist.

Eine Quadratische Funktion hat immer einen Scheitelwert (Extrempunkt) und der hat nichst mit dem Wurzelwert(Diskriminante) zu tun! Dieser sagt nur aus, ob es 2 reelle Lösungen, eine reelle Doppellösung oder 2imaginäre Lösungen sind!

Allerdings kann es bei höhergradigen Funktionen dazu kommen, dass der Extremwert zum Wendepunkt (Terassenpunkt) wird.

Was möchtest Du wissen?