Herleitung für das Coulomb-Gesetz?
Hallo, ich habe gelesen, dass das Coulomb-Gesetz eine logische Konsequenz der Definition der Flächenladungsdichte. Das Experiment besteht darin, eine geladene Kugel von zwei Halbkugelschalen zu umgeben. Die geladene Kugel im Inneren sorgt für eine Influenz in den Schalen, die genauso viel Ladung Q trennt, wie die Kugel an Ladung besitzt. Jetzt wird folgendermaßen argumentiert:
Die Flächenladungsdichte ist: o=Q/(4*pi*r), soweit ok, aber dann
Feldstärke E (des Feldes, das von den Halbkugelschalen erzeugt wird): E=o/epsilon, deswegen folglich E= Q/(4*pi*r*epsilon).
Meine Frage:
Was hat die Feldstärke der Halbschalenkugeln damit zu tun, wie groß die Feldstärke, die von der geladenen Kugel in der Mitte erzeugt wird. Das ist doch was komplett anderes. Es werden willkürlich irgendwelche Erkenntnisse von Plattenkondensatoren genommen, um damit i.G. das fundamentalste Gesetz der Elektrostatik herzuleiten, das erscheint mir total unlogisch.
Danke im Voraus.
2 Antworten
Weil die von der Ladung ausgehenden Kräfte einen Einfluss auf die Atome der Kugelschalen haben, was wiederum das äußere Feld beeinflusst. Die Kraft, die von einem Elektron ausgeht, ist immer gleich, allerdings nimmt die Auswirkung mit steigendem Abstand zum Elektron auch ab.
Die dargestellten Richtungspfeile sind jene, für die man sich entschied, um sie darzustellen. In der Realität ist ihre Anzahl unendlich bzw. gäbe es zwischen den gezeigten Pfeilen keine Lücken. Stell dir das wie eine punktuelle Lichtquelle vor, die in jede Richtung strahlt.
Umhülle ich diese Lichtquelle, sei es komplett oder nur teilweise, variiert dadurch auch der Einfluss auf die Strahlung. Der Kondensator funktioniert deshalb, weil die Elektronen, die man auf eine Seite "reindrückt" eine immer größer werdende, abstoßende Kraft auf jene der anderen Seite auswirken und sie "wegschubsen". D.h. sinnbildlich, dass das von der anderen Seite wirkende Gegenfeld abgeschwächt wird, sodass auf der anderen Seite das ausgehende Feld stärker werden kann. "Die Feldpfeile erfahren weniger Gegenwind".
Stell dir das jetzt in Kugelform vor.
Also um die Formel zu verstehen, muss man davon ausgehen, dass es sich bei der größeren Kugel näherungsweise, um einen Kondensator handelt, für dessen Feld dann o= epsilon *E gilt?
Aus der 1. Maxwellgleichung (stark vereinfacht):
E - elektrisches Feld
S_V - Oberfläche eines Volumens V
Q_V - Ladung innerhalb des Volumens V
\varepsilon_0 - elektrische Feldkonstante
Ausführlich:
integriere über ein Volumen V:
Mithilfe des Integralsatzes von Gauß:
So die Formel von oben
Anschaulich: Das elektrische Feld "verteilt" sich gleichmäßig auf eine Oberfläche. D. h. das gesamte Feld aufintegriert (aufsummiert/zusammengerechnet) entlang einer Oberfläche, z. B. einer Kugeloberfläche mit Radius r, ist gleich dem einer Kugeloberfläche mit anderem Radius R, falls keine weiteren Ladungen eingeschlossen werden.
Das komplizierte steht nur als Herleitung für die Formel ganz oben da. Die erste Formel ist aber relativ einfach. Wenn du das elektrische Feld an einem Punkt bestimmen willst, musst du dafür nur die passende Kugeloberfläche um den Ladungsschwerpunkt herum nehmen und zwar genau die, auf der der Punkt auch liegt. Also Kugeloberfläche mit Radius r gleich Abstand von Punkt zu Ladungsschwerpunkt. Da siehst du dann, dass S_V gerade gleich 4\pi r (Kugeloberfläche) ist und dann einfach umstellen nach E.
Danke, aber wie kommt man auf die Erkenntnis, dass sich das Feld auf eine Oberfläche "verteilt"?. Ich finde das überhaupt nicht selbstverständlich. Ist das die Folge aus der Mathematik, die du da oben präsentierst? Leider reichen die Kenntnisse aus der 11. Klasse nicht ganz aus um das nachzuvollziehen.