Herleitung der Formel der Mantelfläche vom Kegel?

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5 Antworten

Herleitung : dA=U * ds mit U=2*pie * r=2*pie * y hier ist y=f(x) eingesetzt

dA=2*pie * y *ds nun Satz des Phytagoras c^2=a^2 +b^2

ergibt (ds)^2= (dx)^2 +(dy)^2 dividiert durch (dx)^2 

(ds)^2/(dx)^2= 1 + (dy)^2/(dx)^2 mit dy/dx=y´=f´(x)

(ds)^2/(dx9^2= 1 + y`^2 nun Wurzel ziehen

ds/dx= Wurzel (1 + y´^2) ergibt ds=Wurzel(1+y´^2) * dx eingesetzt in dA=....

dA=2 *pie * y * Wurzel(1 +y´^2) * dx nun integriert

A=2*pie * Integral y * (1+y´^2)^0,5 * dx

Wir haben nun die Formel aus dem Mathe-Formelbuch hergeleitet.

Zur Mantelberechnung des Rotationskörpers um die x-Achse braucht man nur noch dessen Funktion y=f(x) und die Integrationsgrenzen xu und xo

(untere Grenze u, obere Grenze) 

Wenn Du den Kegel vom Grundkreis zur Spitze aufschneidest, bekommst Du einen Kreisauschnitt (https://de.wikipedia.org/wiki/Kreissektor). Dessen Radius ist ist gleich der Mantellinie s des Kegels. Die Länge L des Kreisbogens ist gleich dem Umfang der Grundfläche des Kegels.

Der Umfang eines Kreises mit dem Radius s ist U = 2 * pi * s,
seine Fläche A = pi * s²

Die Fläche des Kreisauschnittes ist die Mantelfläche M des Kegels.

Es gilt:
Die Länge des Kreisbogens verhält sich zum Umfang des Kreises wie die Mantefläche des Kegels zur Fläche des Kreises:

L / U = M / A

Der Winkel des Kreisausschnittes  φ verhält sich zu 360° wie die Kreisbogenlänge L zum Umfang U
φ / 360° =
L / U = (2 * π * r) / (2 * π * s) = r / s

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Zu Deiner Frage:
M = s² * π * φ/360° + r² * π

wird mit φ / 360° =  r / s

M = r * π * s r² * π

Übrigens wird normalerweise mit M die Mantelfläche des Kegels,
und  seine Gesamtoberfäche mit Ao (o als Index) bezeichnet.

Siehe Mathe-Formelbuch Anwendung "Integralrechnung"

Mantelfläche von Rotationskörpern um die x-Achse 

A= 2*pie * S y *(1+y´^2)^0,5*dx hier ist y=f(x) eine Funktion von x

S ist das Integralzeichen y´=f´(x) erste Ableitung der Funktion f(x)

(.....)^0,5  Wurzel aus den Klammerausdruck.

Bei einen Kegel ist y=f(x) = m * x eine Gerade. Die Kegelspitze liegt im Ursprung des x-y-Koordinatensystems.

y= m *x abgeleitet y´= m eingesetzt

A=2 *pie * S m *x * (1 + m^2)^0,5 * dx = 2 *pie * m *  (1+m^2)^0,5 S x *dx 

HINWEIS Konstanten können vor das Integralzeichen S gezogen werden.

x=h ist die Laufvariable h des Kegels (Höhe des Kegels)

Tut mir Leid, die Formeln, die du da oben hingeschrieben hast, krieg ich nicht auseinandergereimt.

Die Mantelfläche von einem Kegel ist M=r*pi*s. Das, was du beim zweiten Teil dazugeschrieben hast (r²*pi) ist die Formel für die Grundfläche. Beides zusammen ist die gesamte Oberfläche des Kegels.

Ich kann dir leider auch nicht helfen

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