Quadratische Ergänzung: Es geht um den Term 4a² + 2ab. Die Lösung soll (2a + 1/2 b)² - 1/4 b² sein? Wie kommt man darauf?

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5 Antworten

Dein Fehler liegt beim "Einklammern" der 4 in die quadratische Klammer (Übergang von der vorletzten zur letzten Zeile). Möchtest Du einen Wert in eine quadratische Klammer bringen, musst Du die Wurzel aus diesem Wert ziehen, d. h. in deinem Fall: Wurzel(4)=2 kannst Du in die Klammer einbringen. Rechnest Du sie umgekehrt wieder raus, erhälst Du wieder 2²=4.

also z. B.: 4 * (a+b)² = (2a+2b)²

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Kommentar von MK1405
28.08.2016, 20:13

Ahha wegen dem Rechengesetz potenzieren vor multiplizieren oder? Ich habe hier einfach die 4 mit der Klammer ausmultipliziert, oder?

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Bei der quadratischen Ergänzung geht es ja darum, die 1. oder 2. binomische Formel anwenden zu können. Also das mit (a+b)^2 bzw. (a-b)^2.

Weil a und b hier schon als Variablennamen verwendet werden, nehme ich für die binomischen Formenl die Variablen x und y:

(x+y)^2 = x^2 + 2 x y + y^2

(x-y)^2 = x^2 - 2 x y + y^2

In der Gleichung steht ein +, deshalb nehme ich die 1. binomische Formel. (die 2. geht im Prinzip auch, aber dann kommt man schnell durcheinander.)

Im Summanden 4 a^2 steckt schon ein Quadrat drin und im anderen Summanden ein a ohne Quadrat, deshalb bietet es sich an, 4 a^2 für x^2 und 2 a b für 2 x y zu nehmen.

Also:

4 a^2 = x^2

nach a aufgelöst:

a = 1/√4 * x = x / 2

(die Lösung a = -x / 2 ist auch möglich, macht die Sache aber nur unnötig kompliziert.)

Dieses a setzen wir in den 2. Summanden ein:

2 a b = 2 (x / 2) * b = x * b

Für die binomische Formel muss das jetzt 2 x y sein:

2 x y = x * b

Auf beiden Seiten durch x teilen (wir setzen voraus, dass a bzw. x ungleich 0 ist - aber in diesem Fall stimmt es auch im Fall a = 0, wie man später nachprüfen kann)

2 y = b

Das ist schon nach b aufgelöst

b = 2 y

Damit erhalten wir (Probe):

4 (x/2)^2 + 2 (x/2) (2 y) = x^2 + 2 x y

wie es sein muss.

Für die binomische Formel brauchen wir noch ein y^2. Damit wir den Wert des Terms nicht ändern, müssen wir das y^2 gleich wieder abziehen:

x^2 + 2 x y = x^2 + 2 x y + y^2 - y^2

Hier können wir die 1. binomische Formel anwenden:

... = (x + y)^2 - y^2

x und y haben wir selbst eingeführt, deshalb müssen wir sie wieder "rücksubstituieren", um wieder die ursprünglichen Variablen zu haben:

x = 2 a

y = b / 2

Also:

... = ( (2 a) + (b / 2) )^2 - (b/2)^2

(b/2)^2 = b^2 / 4 ist dann noch eine triviale Umformung.

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Hallo,

klammere zunächst die 4 aus, weil die vor dem a² stört:

4*(a²+(1/2)ab)

Als quadratische Ergänzung halbierst Du den Faktor von (1/2*b) und quadrierst ihn anschließend.

Die Hälfte von b/2 ist b/4, das zum Quadrat ist b/16.

Die quadratische Ergänzung, die a²+ab/2 zum Binom fehlt, lautet also b²/16.

So bekommst Du 4*(a+b/4)²

Da Du innerhalb der Klammer b/16 ergänzt hast, mußt Du es natürlich wieder abziehen, damit der Term insgesamt nicht verändert wird. Da vor der Klammer noch die 4 als Faktor steht, ziehst Du nicht b/16 ab, sondern b/4, denn aus dem b²/16 in der Klammer wird nach Auflösung derselben wegen der 4 davor b²/4.

So bekommst Du 4*(a+b/4)²-b²/4

Wenn Du das ausmultiplizierst, kommst Du wieder auf 4a²+2ab, denn 
4*b²/16-b²/4 ergibt 0.

Herzliche Grüße,

Willy

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Naja du hast da stehen:

4a²+2ab

jetzt schaun wir uns mal den Allgemeinen Fall an:

(xa+by)² = x²a²+2xyab+y²b²

Wenn du jetzt die obere gleichung mit der Allgemeinen Form vergleichst kommst du auf:

x² = 4 => x=2

2xy = 2

xy=1 => y = 1/2

wenn wir jetzt mit den Werten in unsere allgemeine Gleichung gehen erkennen wir

4a²+2ab+1/4b² = (2a+1/2b)²

weil in der oberen Gleichung aber die 1/4b² zuviel sind musst du am Ende das subtrahieren und du kommst auf:

4a²+2ab = (2a+1/2b)²-1/4b²



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Kommentar von MK1405
28.08.2016, 20:11

Ok, vielen Dank👍🏿 Aber wo genau liegt mein Fehler in der Rechnung?

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bis zur vorletzten Reihe ist alles richtig;

wenn du die 4 in die Klammer bringst, kannst du das (....)² nicht ignorieren.

Du kannst nur 2 in die Klammer bringen wegen des Quadrates an der Klammer;

also (2a + 2 • 1/4b)² - 1/4b²

also

(2a + 1/2 b)² - 1/4b²

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