Habe ich "Span" und "Linearkombination" begriffen?
Angenommen man hat
aus R3.
Aus diesem kann kein vollständiger 3-dimensionaler Raum mehr gebildet werden.
Damit meine ich, dass die Linearkombination der beiden Vektoren 2-dimensional ist.
Wenn man dann den Span überprüft ergibt sich also R2.
Habe ich Linearkombination und Span richtig verstanden oder ist meine Denkweise falsch?
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2 Antworten
Aus diesem kann kein vollständiger 3-dimensionaler Raum mehr gebildet werden.
Korrekt.
Damit meine ich, dass die Linearkombination der beiden Vektoren 2-dimensional ist.
Mehrere Fehler:
1.
"Die Linearkombinationen der beiden Vektoren" ist ein Vektor, kein Untervektorraum, somit ergibt es hier keinen Sinn über Dimension zu reden.
Stattdessen sollte es "der Span der beiden Vektoren" oder "die Menge der Linearkombinationen der beiden Vektoren"
2.
Damit die beiden Vektoren einen 2 Dimensionalen Untervektorräume aufspannen, müssen die beiden Vektoren Linear unabhängig sein. Das ist hier nicht der Fall.
Wenn man dann den Span überprüft ergibt sich also R2.
Nein. Der Span ist immer eine Teilmenge vom Vektorraum. R^2 ist KEINE Teilmenge von R^3.
Maximal kann man sagen, dass der Span isomorph zu R^2 ist (aber auch nur, wenn die Vektoren einen zweidimensionalen Untervektorraum aufspannen, was hier nicht der Fall ist).
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Zu deinem Kommentar:
Müsste es dann heißen: Linearkombination aus (1, 1, 0), (0,0,0) damit der Span R^2 ergibt!? denn das einzigste neutrale Element der Addition ist ja Null
Nein, (0,0,0) ist immer linear Abhängig, somit können die beiden Vektoren keinen zweidimensionalen untervektorraum Aufspannen.
Habe ich Linearkombination und Span richtig verstanden oder ist meine Denkweise falsch?
Letzteres. Du hast 2 linear abhängige Vektoren. In diesem Fall sind sie sogar gleich. Wie willst du damit einen zweidimensionalen Raum erzeugen?
Was willst du denn mit dem Nullvektor? Der ist hier völlig fehl am Platz. Mit dem Nullvektor kannst du nicht mal einen eindimensionalen Raum erzeugen.
Hier scheint es noch am grundlegenen Verständnis zu mangeln. Ich empfehle diese Playlist: https://www.3blue1brown.com/topics/linear-algebra
Müsste es dann heißen: Linearkombination aus (1, 1, 0), (0,0,0) damit der Span R^2 ergibt!? denn das einzigste neutrale Element der Addition ist ja Null