Gleichung umformen (kompliziert ;) )?
Hallo
könnte mir bitte jemand helfen die linke Seite dieser Gleichung so umzuformen, dass sie genauso wie die rechte Seite aussieht. Ich weiß, dass beide Seiten äquivalent sind, leider fehlt mir das Talent das auf Blatt Papier auszurechnen, aber ich würde gerne wissen, wie ich das mache.
(((n-1)+k)!)/(k!*(n-1)!)+((n+(k-1))!)/((k-1)!*n!) = ((n+k)!)/(k!*n!)
Schaut ein bisschen chaotisch aus, deswegen hab ich es nochmal in schön als Bild angehängt.
Vielen Dank schon für die Hilfe :D
2 Antworten
Bis hier kann jeder folgen.
Bruch zusammen fassen, ursprünglichen Zähler ausklammern.
Du siehst jetzt, wenn wir (k+n-1)!/(n!k!) zusätzlich ausklammern lässt sich rechts etwas kürzen:
Schreibe den rechten Bruch aus, also als Summe bestehend aus zwei Elementen:
Im ersten Summand kürzt sich (n-1)!, es bleibt k!/(k-1)! stehen, was ist das? Klar, einfach k. Gehe mit dem zweiten Summand ebenso vor am Ende steht:
Fast geschafft, nun stört die -1, tja, mal überlegen:
(k+n)!/(k+n) = (k+n-1)! ganz einfach aus dem Grund, weil k+n bei der Fakultät wegfällt und wir bei k + n - 1 beginnen
Fertig - k+n kürzt sich weg.
Edit: Nach dem zweiten Bild:
Beitrag editiert, ich hoffe das reicht, sonst frag einfach.
Die Zähler sind gleich, klammere diese aus sowie von den Nennern (k-1)! (n-1)!
Dann musst du nur noch 1/n + 1/k berechnen, gibt (n+k)/(nk). Und schon steht es da.
Wie genau kann ich denn im Zähler (k-1)! und (n-1)! ausklammern, ohne den Wert zu verändern?
Könntest du mir bitte nochmal Schritt für Schritt erklären, wie du auf den Nenner kommst? Das wäre echt toll :). Außerdem hab ich immer noch nicht ganz verstanden, wie ich dann von deinem Zwischenergebnis auf das endgültige Ergebnis komme.
( (n-1)+k )! / ( (k-1)! * (n-1)! ) * ( 1/n + 1/k) =
( n+k-1)! / ( (k-1)! * (n-1)! ) * ( n+k) / (nk) =
( n+k-1)!(n+k) / ( (k-1)! * (n-1)! * nk ) =
( n+k)! / ( k! * n! )
Die erste Zeile kannst du mal ausmultiplizieren, vielleicht siehst du es ja dann
Super vielen Dank für deine tolle ausführliche Antwort! Habs jetzt super hingekriegt und soweit (fast) alles verstanden. Wenn du mir noch einmal ganz kurz erklären könntest, wie genau du von dem großen Bruch rechts auf (k+n) gekommen wärst, wärs perfekt :D