Gleichmäßige Konvergenz?
Gegeben ist die Funktionfolge:
f_n (x) = 1/(1+|x|^n)
Diese konvergiert soweit ich richtig gedacht habe Punktweise gegen:
f(x):= {1, falls |x|<1; 1/2, falls |x|=1; 0, falls |x|>1
Nun ist meine Frage, ob f_n auch gleichmäßig gegen f konvergiert.
Mit einem Blick auf den Graph von f sage ich nein, aber wenn ich für die verschiedene Fälle prüfe, ob es gleichmäßiger Konvergenz entspricht komme ich auf ja.
2 Antworten
Die f_n sind stetig, f ist es nicht, also kann die Konvergenz nicht gleichmässig sein. Was hast du denn da für Fälle geprüft?
Ah, diesen Satz kannte ich gar nicht, danke. Ich hab für die Fälle (|x|>1, x=1, |x|<1) einzeln geprüft, ob gleichmäßige Stetigkeit per Definition gegeben ist. Hab da wohl irgendwo nen Fehler gehabt.
Wie der Kollege schon sagte stetig konvergiert gegen stetig..
Überleg es dir durch fn- f sind Funktionen mit Sprung bei 1 um eine fixe Höhe. Jetzt geht fn-f gegen 0, also sup |fn-f | gegen 0 - also müsste auch die Sprunghöhe von fn- f gegen 0 gehen..