Gerade aus Geradenschar bilden, die in einer Ebene liegt (Vektoren)?
Angenommen man hat die Schar ga:x = (2,5/0/3,5) + r * (0/-10a/2:a)
Wie bestimmt man dann eine Parametergleichung der Geraden g, die zur Schar ga gehört und in der Ebene T: 5x + 4y + 5z = 30 liegt?
Ich habe es bis jetzt so gemacht, dass ich die allgemeine Gleichung von ga:x aufgeschrieben habe - also:
x = 2,5
y= 10ar
z = (2r)/a
Weiß leider nicht weiter, kann mir wer helfen?
2 Antworten
Aus der Ebenengleichung kannst du direkt den Normalenvektor der Ebene ablesen.
Bestimme a so, dass das Skalarprodukt aus dem NV der Ebene und dem RV der Gerade 0 ist.
Nicht gleichsetzen, Skalarprodukt (!) muss 0 sein, da RV in der Ebene liegen soll.
moment
Sorry, ich meinte das Skalarprodukt. Geht doch trotzdem nicht (siehe Rechnung).
mal a
-40a² +10 = 0
a² = 1/4
a = 1/2 oder a = -1/2 (logisch, da die Orientierung in beide Richungen möglich ist)
Wie kann ich beweisen, dass die daraus resultierende Gerade g:x = (2,5/0/3,5) + r * (0/-5/4) in der Ebene T': -5x + 4y + 5z liegt?
Durch eben die Konstruktion: RV parallel zur Ebene (wegen Skalarprodukt 0) und ein Punkt der Geraden liegt in der Ebene.
Alternativ: Zeige, dass zwei Punkte auf der Geraden in der Ebene liegen (also deren Gleichung erfüllen)
Möglichkeit 1:
Wenn 2 Punkte der Geraden in der Ebene liegen, liegt bereits die ganze Gerade in der Ebene. Zwei unterschiedliche Punkte der Geraden erhält man, indem man 2 unterschiedliche Werte für r einsetzt.
Wenn du also ein a ermittelst, sodass für z.B. r = 0 und r = 1 die Ebenengleichung erfüllt ist, bist du fertig.
Beachte, dass dein y allerdings falsch ist, du hast da ein Minuszeichen vergessen. Und beim z fehlt die 3,5.
Möglichkeit 2:
Wenn der Normalenvektor der Ebene senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden steht und ein Punkt der Geraden in der Ebene liegt, liegt die ganze Gerade in der Ebene.
Du könntest also zeigen, dass etwa der Ortsvektor der Geraden in der Ebene liegt (der hängt ja nicht von a ab) und dann ein a ermitteln, sodass der Richtungsvektor orthogonal zum Normalenvektor der Ebene ist.
Kannst du mir bitte für Möglichkeit 1 oder Möglichkeit 2 einen rechnerischen Ansatz liefern? Habe echt keine Ahnung, wie ich eins davon rechnerisch angehen könnte.
Möglichkeit 1: Das, was du bei der allgemeinen Geradengleichung für x, y und z rauskriegst in die Ebenengleichung einsetzen. Dann für z.B. r = 1 nach a auflösen.
Möglichkeit 2: Skalarprodukt von Normalenvektor und Richtungsvektor ermitteln, gleich 0 setzen und nach a auflösen.
-40a + 10/a = 0 - das geht doch nicht?
Ich habe genau das probiert, was du mir sagtest: NV der Ebene (5/4/5) mit dem RV der geraden (0/-10a/2/a) gleichgesetzt. Kannst du mir bitte helfen?