Gegenereignis Stochastik?
Was meint man damit?
Die Summe der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E der des Gegenereignisse E(strich) ist gleich 1.
Das ist ein bisschen zu fachlich ausdrückt. Kann jemand das einfacher erklären?
LG
4 Antworten
Das heißt, wenn du unabhängige ereignisse hast, die zusammen, alle möglichen ereignisse sind, dann ist die summe deren Wahrscheinlichkeiten 1.
Das unabhängig soll weg, A und A^c sind im allgemeinen nicht unabhängig
Hallo,
die 1 ist das Maß für ein Ereignis, das auf jeden Fall, also zu 100 % eintrifft, die 0 steht für ein unmögliches Ereignis, das unter keinen Umständen eintrifft.
Alle Wahrscheinlichkeiten bewegen sich also zwischen 0 und 1.
Ereignis und Gegenereignis sind zwei Ereignisse, die sich gegenseitig ausschließen und neben denen es kein drittes Ereignis gibt.
Du wirfst eine Münze. Ereignis: Kopf, Gegenereignis: Zahl. Da eine Münze in der Welt der Mathematik niemals auf dem Rand landet, trifft eins dieser beiden Ereignisse auf jeden Fall, also mit der Wahrscheinlichkeit 1 ein. Addierst Du also die Wahrscheinlichkeit von Kopf (1/2) zu der vom Gegenereignis Zahl (1/2), bekommst Du 1/2+1/2=1.
Das Gegenereignis eines Ereignisses ist also alles, was bei einem Experiment außer dem Ereignis noch passieren kann. Ereignis oder alles andere trifft auf jeden Fall ein, Wahrscheinlichkeit der Summe von beiden ist also immer 1.
Das gilt allerdings nur, wenn sich das Ereignis und das Gegenereignis wirklich einander ausschließen, daß also entweder das eine oder das andere passiert, nicht aber beides gleichzeitig.
Herzliche Grüße,
Willy
Also angenommen du hast die Menge Omega, welche alle möglichen Zustände enthält, die beim Zufallsexperiment rauskommen können.
Sei P dann die zum Zufallsexperiment gehörige Wahrscheinlichkeitsfunktion (also die Funktion, die jeder Teilmenge von Omega (aka Ereignis) eine Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 zuordnet).
Wenn A ein Ereignis ist, dann ist das Gegenereignis die Menge, welche alle Elemente aus Omega enthält, die nicht in A sind. Diese Teilmenge bezeichnet man nicht A Strich (oder A^c)
Es gilt dann:
P(A)+P(A Strich) = 1
Denn P hat die Eigenschaft, dass
P(A vereinigt B) = P(A)+P(B) gilt, wenn A und B keine gemeinsamen Elemente haben.
Da A vereinigt A Strich = Omega gilt (weil Am strich das Komplement von A ist), folgt die obere Gleichheit, da A und A Strich keine gemeinsamen Elemente haben und P(Omega) immer gleich 1 sein muss.
Kleines Beispiel:
Wir haben den Laplaceraum über die Menge Omega = {1,2,3,4,5} (Laplaceraum: jedes Element aus Omega ist gleich wahrscheinlich, hier hat also jedes Element die Wahrscheinlichkeit 1/5)
Sei nun A={1,3,4}
Dann ist das Gegenereignis A strich = {2,5} (da das die einzigen Elemente aus Omega sind, die nicht in A sind)
Es gilt nun:
P(A) = 3/5 (da A 3 enthält)
P(A strich) = 2/5
Also folgt:
P(A) + P(A strich) = 1
Diese Eigenschaft ist manchmal sehr nützlich, da es manchmal sein kann, dass es leichter ist, P(A strich) zu bestimmen, als P(A).
In dem Fall berechnet man dann zuerst P(A strich) und erhält dann P(A) durch die Umformung:
P(A) = 1- P(A strich)
Das Gegenereignis ist genau das Gegenteil des gesuchten Ereignisses.
An einem Beispiel erklärt:
Ein Würfel hat 6 mögliche Ereignisse {1,2,...,6}
Das gewünschte Ergebnis sei der Wurf einer 6. Das ist eine von 6 Möglichkeiten, dh die Wahrscheinlichkeit beträgt P(E)=1/6.
Das Gegenereignis ist das Gegenteil, also der Wurf von KEINER 6 (dh 1..5)
Das kann man nun entweder direkt berechnen P(¬E) = 5/6
Oder als Gegenereignis definiert: P(¬E) = 1 - 1/6 = 5/6
Das klingt jetzt erst einmal trivial, bis man weiß, dass es oftmals leichter ist, das Gegenereignis zu bestimmen als das Ereignis.
Eines der Schlüsselwörter in der Aufgabenstellung lautet dabei "mindestens", zB
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei 3mal würfeln mindestens einen 6er zu würfeln.
Dann kann man entweder das Ereignis "mindestens 1x 6er" genauer betrachten als
- genau 1x 6 gewürfelt
- genau 2x 6 gewürfelt
- genau 3x 6 gewürfelt
und für jeden dieser 3 Fälle jeweils die Wahrscheinlichkeit (inkl aller Permutationen) berechnen und addieren
ODER
Du verstehst, dass das Gegenereignis zu "mindestens einen 6er bei 3 Würfen" der Fall "genau KEINEN 6er bei 3 Würfen" ist.
Und dieser Fall ist sehr einfach zu berechnen:
P(¬E) = 5/6 * 5/6 * 5/6 = 125/216
P(E) = 1 - P(¬E) = 1 - 125/216 = 91/216 = 42,13%