Geburtstagswahrscheinlichkeiten?
Unten im Bild sind zwei Rechnungen.
Mein Gedanke war folgender: ich habe an einem bestimmten Tag im Jahr Geburtstag. Und ich habe 20 Freunde. Nun möchte ich berechnen wie hoch die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass genau zwei meiner Freunde und ich am selben Tag Geburtstag haben.
Im ersten Bild habe ich einfach gesagt ich habe an irgend einem Tag und habe dann gesagt mithilfe der bernoulli Formel dass genau zwei weitere von 20 auch an dem Tag Geburtstag haben sollen.
In der zweiten Rechnung habe ich mir gedacht ich könnte mich ja auch einfach in die Gruppe der 20 Leute dazuzählen (also 21) und berechne dann die Wahrscheinlichkeit, dass genau drei aus der Gruppe am selben Tag Geburtstag haben.
Wieso komme ich dann auf unterschiedliche Ergebnisse?
4 Antworten
Hallo,
nach der zweiten Methode berechnest Du die Wahrscheinlichkeit dafür, daß genau drei von den 21 Personen am gleichen Tag Geburtstag haben.
Unter diesen drei Personen mußt Du selbst aber nicht unbedingt vertreten sein.
Das ist der Unterschied.
Herzliche Grüße,
Willy
Bei der zweiten Rechnung wäre es rein zufällig, ob Du dabei bist oder nicht. Bei der ersten bist Du auf jeden Fall dabei. Du brauchst also nur noch den Fall zu berechnen, daß zwei von den restlichen 20 Personen genau mit Dir zusammen Geburtstag haben.
Das ist natürlich wahrscheinlicher, als daß nicht nur genau drei Personen an einem bestimmten Tag Geburtstag haben, von denen Du eine sein mußt.
Ok aber was ist jetzt der Unterschied von der Frage dass drei Personen genau an einem Tag Geburtstag haben und der Frage das drei Person aus einer Gruppe allgemein miteinander geburtsag haben. Weil die Wahrscheinlichkeit für letzteres ist ja bedeutend höher
Du hast bei Deinem zweiten Rechenweg aber nicht die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, daß drei Leute an irgendeinem Tag gemeinsam Geburtstag haben, sondern an einem bestimmten Tag von den 365 Tagen im Jahr.
Das ist etwas anderes.
Daß die Wahrscheinlichkeit für einen von den Dreien gleich 1 ist, denn an irgendeinem Tag hat er sicher Geburtstag.
Ist es aber ein bestimmter Tag, ist die Wahrscheinlichkeit für alle drei gleich (1/365), daß sie genau an diesem Tag Geburtstag haben.
Wären es nur drei Personen, wäre die Wahrscheinlichkeit für einen gemeinsamen Geburtstag an irgendeinem Tag 1*(1/365)², soll es dagegen ein ganz bestimmter Tag sein, ist es (1/365)³.
Ok das macht Sinn eine Frage aber noch:
Ich habe ja gesagt dass drei an einem bestimmten Tag Geburtstag haben sollen also 1/365^3 und die anderen achtzehn sollen ja nicht da Geburtstag haben also 364/365^18. aber müsste man nicht streng genommen für jede weiter Person den Zähler um 1 verringern? Denn sonst ist ja nicht ausgeschlossen dass die anderen auch doppelte Geburtstage haben.
Beim Geburtstagsparadoxon wird das ja so gemacht
Was ist nun richtig?
Es gibt 20!/((20-2)!*2!) = 20*19/2 = 190 Möglichkeiten, die 2 Personen auszuwählen, die am selben Tag genurstag haben. Es kommen dafür 365 Tage in betracht.
Die restliche 18 Leute verteilen sich auf die verbleibenden 364 Tage:
364!/(364-18)!
In Summe gibt es also 190 * 365 * 364!/(364-18)! = 190 * 365!/(364-18)! Möglichkeiten, dass genau 2 Personen am gleichen Tag Geburtstag haben.
gesamt gibt es 365^20 mögliche Geburtstagsverteilungen.
Dahher:
P = (190 * 365!/(364-18))/365^20 = 0,32 = 32%
Kann das zwar nicht rechnen aber die wahrscheinlichkeit ist 1 zu 355 glaube ich bitte kein Hate wenns falsch ist
Eigentlich verweise ich immer nur ungern einfach auf eine Website, aber in diesem Fall weiß ich selbst nicht, wie ich dir helfen kann. Aber vielleicht kommst du mit diesem Wikipedia Eintrag weiter:
Aber dann müsste die zweite Wahrscheinlichkeit ja größer sein. Denn beim ersten berechne ich die Wahrscheinlichkeit das zwei Leute mit mir Geburtstag haben und beim zweiten irgendwelche 3. warum ist sie dann bei der zweiten Rechnung so viel kleiner?