f(x,y) :=(3x - 4y, 3x+ 4y) ist eine Funktion?
Für f: R^2 -> R^2
Warum handelt es sich hier um eine Funktion, wenn die linke Seite gar nicht eindeutig ist. Darf man die Funktion umstellen und y auf die linke Seite bringen um zu überprüfen, ob Injektivität vorliegt?
1 Antwort
Die Funktion ist (sonst wäre sie ja auch keine) selbstverständlich eindeutig. So wird z. b. das geordnete Paar (1,1) auf das geordnete Paar (3 * 1 - 4 * 1, 3 * 1+ 4 *1) = (-1, 7) abgebildet. Für jedes geordnete Paar reeller Zahlen kann man den Funktionswert ausrechnen - nur dass der nicht eine Zahl, sondern wiederum ein geordnete Paar ist.
Wie du hier y auf eine Seite bringen willst, kann ich mich nicht vorstellen, was meinst du damit?
Um die Injektivität einer Abbildung zu überprüfen, musst du zeigen, dass
aus f(a) = f(b) folgt, das auch a = b ist.
Ich nehme hier a=(x,y) und b=(x',y').
Dann ist f(a) = (3x-4y, 3x+4y) und f(b) = (3x'-4y', 3x'+4y')
Wenn die beiden gleich sind, müssen sie in beiden Komponenten übereinstimmen, d. h. es muss gelten
3x-4y = 3x'-4y'
3x+4y = 3x'+4y'
Du musst jetzt zeigen, dass daraus dann folgt, dass x=x' und y=y', denn dann ist a=b.
Um das zu zeigen, kannst du z. b. die beiden Gleichungen einfach addieren, dann steht da:
6x = 6x', also x = x'
Wenn du die Gleichungen voneinander abziehst, bekommst du
-8y = - 8y', also auch y = y'.
Damit ist die Injektivität gezeigt.