f(x)=x ist streng monoton wachsend, ist dann f(x)=1/x automatisch nicht mehr streng monton, ist der kehwert immer nicht mehr streng monoton?

Wenn eine Funktion gegeben ist, die streng monoton ist, ist der Kehrwert dann immer nicht mehr streng monoton?

Answer 1

[AldoradoXYZ]

Hey,

wenn f(x) streng Monoton wachsend ist, muss dann nicht f(1/x) streng monoton fallend sein? x wird immer größer, als muss 1/x immer kleiner werden.

Gruß

Comments

[mihisu]

x wird immer größer, als muss 1/x immer kleiner werden.

Nicht unbedingt. Nämlich dann nicht, wenn x das Vorzeichen wechselt.

Beispielsweise ist 2 größer als -2, aber 1/2 ist nicht kleiner als 1/(-2).

Answer 2

[mihisu]

Nicht unbedingt.

Beispiel:

$f:\ \mathbb{R}\to\mathbb{R}\quad\text{mit }f(x)=2^x\text{ für alle }x\in\mathbb{R}$

Diese Funktion f ist streng monoton wachsend.

Die Funktion g = 1/f, also...

$g:\ \mathbb{R}\to\mathbb{R}\quad\text{mit }g(x)=\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{2^x}=2^{-x}\text{ für alle }x\in\mathbb{R}$

... ist streng monoton fallend.

===========

Bei deinem Beispiel mit f₁(x) = x und f₂(x) = 1/x kommt es übrigens auch stark darauf an, mit welchem Definitionsbereich man die Funktionen betrachtet.

Wenn man die Funktionen jeweils als reelle Funktionen mit maximalem Definitionsbereich betrachtet, also...

$f_1:\ \mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad\text{mit }f_1(x)=x\text{ für alle }x\in\mathbb{R}$

$f_2:\ \mathbb{R}\setminus\lbrace 0\rbrace\to\mathbb{R},\quad\text{mit }f_2(x)=\frac{1}{x}\text{ für alle }x\in\mathbb{R}\setminus\lbrace 0\rbrace$

..., so ist f₁ streng monoton steigend und f₂ nicht monoton.

Wenn man hingegen beispielsweise die Definitionsmenge auf die positiven Zahlen einschränkt, also...

$f_1:\ \mathbb{R}_{>0}\to \mathbb{R},\quad \text{mit }f_1(x)=x\text{ für alle }x\in\mathbb{R}_{>0}$

$f_2:\ \mathbb{R}_{>0}\to \mathbb{R},\quad \text{mit }f_2(x)=\frac{1}{x}\text{ für alle }x\in\mathbb{R}_{>0}$

..., so ist f₁ streng monoton steigend und f₂ streng monoton fallend. Also sind in diesem Fall dann beide Funktionen streng monoton.