Funktionen gleich setzen?
Ich habe eine Frage zur folgenden Aufgabe: Bestimmen sie k Element von R so, dass die von den Graphen der Funktionen f und g eingeschlossene Fläche den Flächeninhalt A hat. a) f(x)=x^3; g(x)=2kx^2-k^2x; A=4/3
Und nun meine Frage: Muss man hier die Funktionen gleichsetzen oder was muss man machen?
2 Antworten
Erst mal setzt du beide Funktionen gleich, um die x - Komponenten ihrer gemeinsamen Schnittpunkte zu ermitteln.
f(x) = x ^ 3
g(x) = 2 * k * x ^ 2 - (k ^ 2) * x
x ^ 3 = 2 * k * x ^ 2 - (k ^ 2) * x | -2 * k * x ^ 2
x ^ 3 - 2 * k * x ^ 2 = - (k ^ 2) * x | + (k ^ 2) * x
x ^ 3 - 2 * k * x ^ 2 + (k ^ 2) * x = 0
x ausklammern -->
x * (x ^ 2 - 2 * k * x + k ^ 2) = 0
Regel --> Ein Produkt mit mehreren Faktoren ist dann Null, wenn einer der Faktoren Null wird.
Deshalb ist eine Nullstelle bei x = 0, also x _ 1 = 0
Nun bestimmst du auch noch vom Faktor x ^ 2 - 2 * k * x + k ^ 2 die Nullstellen -->
x ^ 2 - 2 * k * x + k ^ 2 = 0
Die pq-Formel wird auf die Form x ^ 2 + p * x + q = 0 angewendet.
pq - Formel -->
x _ 2, 3 = - (p / 2) - / + √( (p / 2) ^ 2 – q )
p = -2 * k
q = k ^ 2
p / 2 = - k
(p / 2) ^ 2 = (- k) ^ 2 = k ^ 2
x _ 2, 3 = - (- k) - / + √( k ^ 2 – k ^ 2 )
x _ 2, 3 = k
x _ 2 = k
x _ 3 = k
Nun kennst du deine Integrationsgrenzen, und zwar wird von x _ 1 bis x _ 2 integriert, also von 0 bis k
Man führt am besten zwei neue Funktion ein, hier h(x) und A(x) genannt, h(x) ist f(x) - g(x) und A(x) = ∫ h(x)
h(x) = f(x) - g(x) = x ^ 3 - 2 * k * x ^ 2 + (k ^ 2) * x
A(x) = ∫ h(x) = (1 / 4) * x ^ 4 - (2 / 3) * k * x ^ 3 + x ^ 2 * (k ^ 2) / 2 + C
C kann auf Null gesetzt werden, also C = 0
Nun setzt man in A(x) die Integrationsgrenzen ein und subtrahiert die obere Integralgrenze von der unteren Integralgrenze -->
A(k) = (1 / 4) * k ^ 4 - (2 / 3) * k * k ^ 3 + k ^ 2 * (k ^ 2) / 2
A(k) = (1 / 4) * k ^ 4 - (2 / 3) * k ^ 4 + (1 / 2) * k ^ 4
A(k) = (1 / 4 - 2 / 3 + 1 / 2) * k ^ 4
A(k) = (1 / 12) * k ^ 4
A(0) = (1 / 4) * 0 ^ 4 - (2 / 3) * k * 0 ^ 3 + 0 ^ 2 * (k ^ 2) / 2
A(0) = 0
A(k) - A(0) = (1 / 12) * k ^ 4 - 0 = (1 / 12) * k ^ 4
A(k) - A(0) soll 4 / 3 sein, man muss k ausrechnen -->
(1 / 12) * k ^ 4 = 4 / 3 | * 12
k ^ 4 = 48 / 3
k ^ 4 = 16 | (...) ^ (1 / 4)
k = -/+ 2
Da uns negative Flächeninhalte und k = -2 und k = +2 den gleichen Absolutbetrag haben, also nur -->
k = 2
Dein Lehrer will aber aber wahrscheinlich trotzdem k = -2 und k = +2 hören.
Ich habe noch mal darüber nachgedacht, k = - 2 und k = + 2 ist richtig, sie haben beide denselben Flächeninhalt.
Nur schreibt man besser für k = -2 die Integralgrenzen von -2 bis 0 und für k = +2 von 0 bis +2
Ich versuche nur den Ansatz herauszufinden und die Aufgabe zu verstehen, weil mir das noch nicht klar ist. Was denkst du wohl, warum ich hier nachfrage? Um das einfach abzuschreiben? Wo wäre dann der Lernefekt?
Vielen Dank für eine solch ausführliche Antwort :) Jetzt verstehe ich es endlich, aber ich wollte lediglich nur etwas Hilfe, damit ich etwas besser daraus lernen kann ;) Nichtsdestotrotz vielen Dank