Bestimmen Sie , für welchen Wert des Parameters a>O die von den Graphen der Funktion n f und g eingeschlossene Fläche den Inhalt A hat?
f(x)=x^2
g(x)= -ax+2a^2
A=4,5
beim gleichsetzen der Funktionen habe ich x=a , x=2a raus aber wie muss ich es weiter machen
3 Antworten
Schnittpunkte (= Integralgrenzen) bestimmen:
x² = -ax + 2a²
x1 = -2a
x2 = a
∫ (x² + ax - 2a²) dx = (1/3)x³ + (1/2)ax² - 2a²x + C
A = │(1/3)a³ + (1/2)a³ - 2a³ - ((1/3)(-2a)³ + (1/2)a(-2a)² - 2a²(-2a)│
A = │-(9/2)a³│
4,5 = (9/2)a³
a = 1
x1 und x2 sind die Schnittpunkte der beiden Funktionen. Soweit warst Du ja gekommen. f(x) - g(x) = (x² + ax - 2a²) ist die Differenz der beiden Funktionen. Diese Differenz beschreibt innerhalb der Grenzen von x1 und x2 eine Fläche. Eine Skizze hierzu ist hilfreich.
Die Fläche A wird über das bestimmte Integral berechnet. Dazu werden die Grenzen a und -2a in die Stammfunktion von f(x) für x eingesetzt und die Differenz gebildet. Diesen Schritt habe ich ausführlich dargestellt. Die Zusammenfassung zu -(9/2)a³ habe ich ausgelassen, da es sich nur um Bruchrechnung handelt.
Da in diesem Beispiel die Fläche gegeben war, muss der Parameter a abhängig von der gegebenen Fläche A ermittelt werden. Das ist die Gleichung 4,5 = (9/2)a³.
Die Grenzen für das Integral sind also -2 und 1, da a = 1 ist.
Ich habe Betragsstriche gesetzt, weil Flächen positiv sind. Die Betragsstriche wären vermeidbar gewesen, wenn ich g(x) - f(x) gerechnet hätte.
Setzt man das Ergebnis in die Ausgangsfunktion ein, ergibt das
f(x) = x²
g(x) = -x + 2
Zur Kontrolle könnte man jetzt das Integral der Differenzfunktion in den Grenzen -2 und 1 berechnen. Da müsste 4,5 herauskommen.
f(x) = ax²
g(x) = x
Differenzfunktion:
g(x) - f(x) = x - ax²
(der Graph von g(x) liegt im Bereich der Schnittpunkte oberhalb)
∫ (x - ax²) dx = (1/2)x² - (1/3)ax³ + C
Grenzen bestimmen:
ax² = x
ax² - x = 0
x(ax - 1) = 0
x1 = 0
ax - 1 = 0
x2 = 1/a
A = 2/3 = (1/2)(1/a)² - (1/3)a(1/a)³ - ((1/2)(0)² - (1/3)a(0)³)
A = 2/3 = (1/2) (1/a²) - (1/3)a(1/a³)
2/3 = (3/6)(1/a²) - (2/6)(1/a²)
2/3 = (1/6)(1/a²)
a² = 1/4 (a > 0)
a = 1/2
Eine Lösung ist richtig, aber die andere Lösung ist falsch.
f(a)= a² und g(a)= -a²+2a² = a², aber f(2a) = 4a² und g(2a) = -2a²+2a² = 0
Tipp bilde das Integral über f(x)-g(x) mit den Schnittpunkten als Grenzen und setze es in Betrag. Und x=2a ist falsch.
Könntest du mir vielleicht in Wörtern erklären wie du darauf gekommen bist , wenn es ok ist. Also zuerst hast du ja die Stammfunktion gebildet und was ist dein nächster Schritt.