Funktion wohldefiniert?

Ist die Funktion f : R —> R gegeben durch

f(x) := sin(cos(sin(cos(….(x))…)))

wohldefiniert?

Wenn ja, hat sie eine Ableitung?

PS: Das habe ich mir mal selbst ausgedacht :)

Answer 1

[aperfect10]

Schau Dir den Fixpunktsatz von Banach an.

Edit: Setze

$\phi(x) = \sin(\cos(x))$ und $x_{n+1} = \phi(x_n)$ mit einem beliebigen Startwert x_0. Dann entspricht Deine Funktion f:

$f(x_0) = \lim_{n\to\infty}\phi(x_n)$

Die Frage ist nun, ob phi eine Kontraktion ist. Wenn ja, dann hätte sie einen eindeutigen Fixpunkt und der Grenzwert, also f(x_0), konvergierte dann für alle x_0 gegen diesen Fixpunkt.

Damit wären beide Deiner Fragen unmittelbar beantwortet.

Comments

[TimmHerbst]

Ja klar, dafür muss f kontrahierend sein. Aber worauf willst Du hinau?

[aperfect10]

@TimmHerbst

Ich hab oben noch etwas hinzugefügt.

[KunXz]

@TimmHerbst

Nicht nur, f muss auch eine Selbstabbildung sein, was hier der Fall ist. Deine Folge müsste eigentlich immer gegen den eindeutigen Fixpunkt konvergieren (egal was du für x einsetzen würdest)