Fläche unendlich lang teilen?
Nehmen wir an ich habe ein Rechteck und teile dieses. Dann nehm ich eine Hälfte und teile diese wieder, dann wieder diese Hälfte und so weiter… Kann ich dann diese Flächen unendlich lang teilen?
Wenn ja, wieso bedeutet das dann nicht, dass die Fläche unendlich groß ist ?
Oder ist das dann so ähnlich, wie wenn ich unendlich weit reinzoomen kann?
9 Antworten
Mathematisch ist das eines der Phänomene des Unendlichen. Eine unendliche Summe positiver Größen kann eine endliche Zahl ergeben. Das ist nicht mal ungewöhnlich, so ergibt z.B. die Summe von n = 1 bis unendlich über 3*(1/10)^n gerade 1/3 und ist nichts anderes als eine Schreibweise eines unendlichen periodischen Dezimalbruchs.
Physikalisch ist übrigens die Anzahl der möglichen Teilungen nach gegenwärtigen wissenschaftlichen Kenntnisstand durch die Planklänge begrenzt.
yep. War spät und auf dem Tablet getippt. Danke für die Korrektur, ich habe es auch im Text korrigiert.
Hallo kaschmidty,
egal wie oft du das Rechteck teilst. Die Fläche wird zwar immer kleiner, aber sie wird immer größer sein als Null.
Theoretisch kann die Fläche beliebig nahe an Null kommen und damit unendlich klein, aber eben niemals Null werden.
Das bedeutet aber nicht, dass die Ursprungsfläche unendlich ist. Es bedeutet nur, dass eine endlich große Fläche unendlich mal größer ist als eine unendlich kleine Fläche.
Anstatt als zweidimensionale Fläche kannst du dir das Ganze auch als eindimensionale Linie vorstellen, die du ja auch beliebig oft halbieren kannst.
Stell dir diese Linie einfach mal als Zahlenstrahl vor. Zum Beispiel als Zahlenstrahl zwischen 0 und 6.
Du kannst die Strecke halbieren und erhältst den Zahlenstrahl zwischen 0 und 3 und diese nochmal halbieren und erhältst den Zahlenstrahl von 0 bis 1,5.
Das kannst du unendlich oft machen und du wirst immer kleinere Kommazahlen erhalten.
Du siehst also: Es gibt unendlich viele Zahlen zwischen 0 und 6, aber die Strecke ist trotzdem messbar und nicht unendlich lang.
Das heißt, auf einer endlichen Linie haben unendlich viele Punkte Platz und dasselbe gilt auch für eine Fläche. Nur weil sie aus unendlich vielen unendlich kleinen Punkten besteht, heißt das nicht, dass die Fläche deswegen auch unendlich ist. Auch eine endliche Fläche besteht aus unendlich vielen Punkten.
Das entspricht in etwa Zenons Paradoxon von Archilles und der Schildkröte und ist mit Hilfe einer konvergierenden geometrischen Reihe zu lösen. Wenn Du mit 1 beginnst, dann 0,5 addierst, dann 0,25 und 0,125, also immer die Hälfte des vorigen bis ins Unendliche, dann geht die Summe nicht etwa gegen ∞, sondern gegen 2.
Ja, du kannst die Fläche unendlich oft teilen. Das bedeutet, das sie aus unendlich VIELEN Fragmenten besteht, aber die Größe (im Sinne von Flächeninhalt) ist beschränkt.
Ja, das Beispiel mit dem Zoom ist passend.
Unmöglich.
Spätestens wenn das Rechteck nur noch so klein wie ein Molekül ist, dann ist es kein Rechteck mehr!
Man könnte dann die Moleküle und Atome teilen. Allerdings lässt sich ein Atom schlecht teilen.
Nein, mathematisch gesehen kann man unendlich oft teilen. Die Mathematik ist nicht durch Atomgrösse nach unten beschränkt. Sie behandelt messbare Größen und nicht Objekte aus der Physik.
Physikalisch ist das korrekt. Aber mathematisch oder philosophisch gesehen ist es unendlich oft teilbar. Ein Rechteck aus Papier lässt sich nicht beliebig oft teilen. Ein Rechteck als mathematisches Konstrukt lässt sich hingegen unendlich oft teilen.
ups, du meintest vermutlich 3*10^(-n) bzw. 3*(1/10)^(n) und nicht 3*(1/10)^(-n)