Faktorform Mathe Quardratische Funktionen

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Die Faktorform ist die Darstellung der Nullstellen einer Funktion, sofern f(x) = 0.

Machen wir ein Beispiel. Produktform: f(x) = 0,5 (x-2)*(x+4) Die Nullstellen wären (2|0) und (-4|0)

Ausmultipliziert: f(x) = 0,5x² + x - 4

Scheitelpunkt suchen: f(x) = 0,5 (x² + 2x ...... ) .- 4 ........... | quadratisch ergänzen f(x) = 0,5 (x² + 2x + 1) - 0,5 - 4 f(x) = 0,5 (x + 1)² - 4,5 Das ist die Scheitelpunktformel

S(-1|-4,5)

Woher ich das weiß:Eigene Erfahrung – Unterricht - ohne Schulbetrieb

Ich wiederhole das mal, weil die Formatierung abhanden gekommen ist.

Die Faktorform ist die Darstellung der Nullstellen einer Funktion, sofern f(x) = 0.

Machen wir ein Beispiel.
Produktform: f(x) = 0,5 (x-2)*(x+4)
Die Nullstellen wären (2|0) und (-4|0)

Ausmultipliziert: f(x) = 0,5x² + x - 4

Scheitelpunkt suchen:
f(x) = 0,5 (x² + 2x ...... ) .- 4 ........... | quadratisch ergänzen
f(x) = 0,5 (x² + 2x + 1) - 0,5 - 4
f(x) = 0,5 (x + 1)² - 4,5
Das ist die Scheitelpunktformel

S(-1|-4,5)


Da der x-Wert des Scheitelpunkts genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegt, kann man den Scheitelpunkt bei Kenntnis einer Funktionsgleichung komplett ausrechnen. Das ist aber manchmal nicht zulässig, wenn die Aufgabenstellung die quadratische Ergänzung erfordert.

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@Volens

Danke für die ausfürliche erklärung. MeinMathe Lehrer meint nur ich müsste das können da gibts nichts zu erklären. Die Nullstellen haben dann quasi immer dase ntgegengesetzte vorzeichen ? Wenn ausmultipliziert ist warum ist die -2 weg ? und wie würde ich von da in die allgemeine form kommen ?

f(x)= 0,5 (x-2) (x+4)

f(x)= (0,5x-2) (x+4)

f(x)= 0,5x²+2x-2x-8

f(x)= 0,5x²-8

ist das die allgemeine From dann ? oder denke ich falsch ?

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@SnoopyPepsi

Erstens:
Nullstellen können auch alle beide positiv oder negativ sein.
Um diese so genannten Linearfaktoren zu bilden, wird das umgedrehte Vorzeichen genommen.
Eine Nullstelle +3 ergibt den Faktor (x - 3).

Zweitens:
Die Funktionsgleichung hatte ich schon berechnet. In deiner Rechnung steckt ein kleiner Fehler:
f(x)= 0,5 (x-2) (x+4)
f(x)= (0,5x-1) (x+4)

Du musst 0,5 mit beiden Termen in der Klammer multiplizieren.
Besser ist allerdings, zuerst die Klammern zu multiplizieren und dann mit 0,5 malzunehmen.

Das Endergebnis ist: f(x) = 0,5 (x + 1)² - 4,5
Versuch mal, dies herauszubekommen. Wenn es nicht klappt, schreib npchmal.

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@Volens

Ach, ja, das ist die Formel mit Scheitelpunkt. Die Funktionsgleichung habe ich weiter oben stehen:

f(x) = 0,5x² + x - 4

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@Volens

also habe es gerade nochmal versucht zu rechnen und stehe total auf dem schlauch. habe f(x)=0,5 (x-2) (x+4)

f(x)= (0,5x-1) (x+4)

f(x)= 0,5x² + 2x-1x-4

irgendwas stimmt doch da nicht oder ? Bin solangsam total am verzweifeln

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Du meinst die faktorisierte Form mit den Nullstellen?

Naja du nimmst halt die Nullstellen x1 und x2, die du vorher rausfinden musst und dann stellst du die Gleichung der Funktion auf: y = a (x-x1)(x-x2), wobei du a so wählen musst, dass die ganze Funktion eventuell noch durch einen dritten gegebenen Punkt läuft.

Wie man von der faktorisierten Form auf die allgemeine kommt? Nach Schema F! Du multiplizierst einfach die Klammern aus (eventuell nach binomischen Formeln oder eben nach Schema F: erster Summand aus erster Klammer mal erstem Summand aus zweiter Klammer + erster Summand aus erster Klammer mal zweiter Summand aus zweiter Klammer und so weiter....).

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